104 / 368
103
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Αφού η
f
είναι ‘’1
-
1’’ ορίζεται η αντίστροφή
της
1
f
-
με πεδίο ορισμού το
( ) ( )
1
f
f
D f D f
-
= =
Επειδή η
f
είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο
θα είναι
( )
( )
( )
(
)
f
x
x
f D lim f x , lim f x
®-¥
®+¥
=
Είναι
( )
3
x
x
lim f x lim x
®-¥
®-¥
=
= -¥
και
( )
3
x
x
lim f x lim x
®+¥
®+¥
=
= +¥
οπότε
( )
( )
( )
(
)
1
f
f
x
x
f D lim f x , lim f x
D
-
®-¥
®+¥
=
= =
.
Για τον τύπο της
1
f
-
θέτουμε
( )
y f x
=
στον τύπο της
f
και έχουμε :
3
3
3
y
,y 0
y x x
y ,y 0
ì
³
ï
= Û = í
- -
<
ïî
( )
1
Όμως
( )
( )
1
f x y x f y
-
= Û =
και τελικά από την
( )
1
παίρνουμε
( )
3
1
3
y
, y 0
f y
y , y 0
-
ì
³
ï
= í
- -
<
ïî
ή
( )
3
1
3
x
,x 0
f x
x ,x 0
-
ì
³
ï
= í
- -
<
ïî
.
Γ2.
Στο Γ1 ερώτημα δείξαμε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
,
οπότε
(
)
f
3
3
3
1
1
1
f
x f x x
x x x
x x x 0
6
6
6
æ
ö
hm > - Ûhm > - Ûhm - + >
ç
÷
è
ø
1
( )
2
Αρκεί να δείξουμε ότι η σχέση
( )
2
ισχύει για κάθε
x 0
>
.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
3
1
g x
x x x
6
= hm - +
,με
x 0
³
.
Είναι
( )
2
3
1
x
g x
x x x
x 1
6
2
¢
æ
ö
¢
= hm - +
= sun - +
ç
÷
è
ø
και
( )
2
x
g x
x 1
x x 0
2
¢
æ
ö
¢¢
= sun - + = -hm + ³
ç
÷
è
ø
με την ισότητα να ισχύει μόνο
για
x 0
=
(ισχύει
x x
hm £
για
κάθε
x
Î
με την ισότητα να