106 / 368
105
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Έχουμε
( ) ( )
( )
1
1
1
1
f x g x dx h x dx
-
-
I =
=
ò
ò
( )
3
Θέτουμε στη συνέχεια
x t
= -
στην
( )
3
με
dx dt
= -
Τα νέα άκρα γίνονται :
x 1 t x 1
x 1 t x 1
= - Û = - =
ì
í
= Û = - = -
î
Είναι :
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
I
h x dx h t dt h t dt
h t dt I
-
-
-
-
=
= - - =
= -
= -
ò
ò
ò
ò
Είναι
I
I
2I 0 I 0
= - Û = Û =
.
Άρα
( ) ( )
1
1
I
f x g x dx 0
-
=
=
ò
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
lnx
1 0 x 1
x
f x 1
, x 1
lnx
, x 1
x 1
,
ì + < <
ï
ï
=
=
í
ï
ï
>
-î
Δ1.
Να δείξετε ότι η
f
είναι συνεχής στο
(
)
0,
+¥
(μονάδες 3) και να βρείτε,
αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης
της
f
. (μονάδες 2)
Μονάδες 5
Δ2.
Να δείξετε ότι το
0
x 1
=
είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της
f
Μονάδες 8
Δ3.
i)
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει μοναδική ρίζα στο
(
)
0,
+¥
.
(
μονάδες
3)
ii)
Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες
x 1
=
και
0
x x
=
,
όπου
0
x
η μοναδική ρίζα της εξίσωσης
( )
f x 0
=
στο
(
)
0,
+¥
, να α-
ποδείξετε ότι
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016