113 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
112
β)
Αν
f,
g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε
η
g f
ορίζεται αν
( )
f A B
Ç ¹Æ
.
γ)
Για κάθε συνάρτηση
f :
®
που είναι παραγωγίσιμη και δεν πα-
ρουσιάζει ακρότατα, ισχύει
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
x
Î
.
δ)
Αν
0 α 1
< <
, τότε
x
x
lim α
®-¥
= +¥
.
ε)
Η εικόνα
( )
f Δ
ενός διαστήματος Δ μέσω μια συνεχούς και μη σταθε-
ρής συνάρτησης
f
είναι διάστημα.
Μονάδες 10
A
πάντηση
Α1.
Έστω
με
.
Θα δείξουμε ότι
.
Πράγματι, στο διάστημα
η
f
ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
Θ.Μ.Τ.
Επομένως, υπάρχει
τέτοιο, ώστε
.
Οπότε έχουμε
.
Επειδή
και
, έχουμε
.
Οπότε
.
Α2. α)
Ψ
β)
Έστω η συνάρτηση
( )
f x x
=
.
Η
f
είναι συνεχής στο
0
, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού:
( ) ( )
x 0
x 0
f x f 0
x
lim
lim 1
x 0
x
+
+
®
®
-
= =
-
, ενώ
( ) ( )
x 0
x 0
f x f 0
x
lim
lim 1
x 0
x
-
-
®
®
-
-
=
= -
-
.
Α3.
Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι
συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα
[ ]
α,β
, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του
( )
α,β
και επιπλέον
Î
1 2
x ,x Δ
<
1
2
x x
( ) ( )
<
1
2
f x f x
[
]
1 2
x ,x
(
)
Î
1 2
ξ x ,x
( ) ( ) ( )
-
¢
=
-
2
1
2 1
f x f x
f ξ
x x
( ) ( ) ( )(
)
¢
- =
-
2
1
2 1
f x f x f ξ x x
( )
¢
>
f ξ 0
- >
2 1
x x 0
( ) ( )
- >
2
1
f x f x 0
( ) ( )
<
1
2
f x f x