118 / 368
117
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
f x συνx
¢
= -
Ας είναι
( )
(
)
0
0
M x ,f x
το σημείο της
f
C
, στο οποίο φέρουμε εφαπτομένη, η
οποία διέρχεται από το σημείο
π π
A ,
2 2
æ
ö - ç
÷
è
ø
. Τότε η εφαπτομένη θα έχει εξί-
σωση:
( )
( ) ( ) (
)
(
)
(
)
0
0
0
0
ο
0
ε : y f x f x x x
y ημx
συνx x x
¢
- = × - Û - - = - × -
0
0 0
0
y ημx x συνx x συνx
Û + = - ×
+ ×
0 0
0
0
y x συνx x συνx ημx
Û = - ×
+ ×
-
Όμως
( )
0 0
0
0
π π
A ε
συνx x συνx ημx
2 2
Î Û- = - ×
+ ×
-
0 0
0
0
π
π
συνx x συνx ημx
0
2
2
Û- ×
+ ×
- + =
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
[ ]
π
π
g x
συνx x συνx ημx , x 0,π
2
2
= -
+ ×
- + Î
, η ο-
ποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο
[ ]
0,π
, με:
( )
π
g x ημx συνx
2
¢
= +
x ημx συνx
- ×
-
π
ημx
x
2
æ
ö
= ×
- ç
÷
è
ø
Είναι:
·
( )
ημx 0
x 0 ή x π
π
g x 0 ημx
x 0
ή
ή
2
π
π
x 0
x
2
2
ì
ü ì
ü
ï
ï ï
ï
=
= =
ï
ï ï
ï
æ
ö
¢
= Û ×
- = Û Û í
ý í
ý
ç
÷
è
ø
ï
ï ï
ï
ï
ï ï
ï
- =
=
î
þ î
þ
·
Στο διάστημα
( )
0, π
είναι
ημx 0
>
, επομένως:
§
Στο
π
0,
2
æ ö
ç ÷
è ø
:
π π
0 x
x 0
2 2
< < Þ - >
, άρα
( )
π
ημx
x 0 g x 0
2
æ
ö
¢
×
- > Û >
ç
÷
è
ø
§
Στο
π
,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
:
π
π
x π
x 0
2
2
< < Þ - <
, άρα
( )
π
ημx
x 0 g x 0
2
æ
ö
¢
×
- < Û <
ç
÷
è
ø