Μαθηματικά Γ' Λυκείου

121 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
120
2
2 2
1
2
π 8
E π 8 π
4 1
E 2 8 8
-
-
= = = -
Γ3. Είναι:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1
2 x π x π
f x x 1
lim lim f x x
f x x π f x x π ® ®
é ù +
= + × = +¥
ê ú
- + - + ê ú
ë û
Όμως:
· ( ) ( )
x π
lim f x x f π π π
®
é + ù = + =
ë û , ( )1 .
· ( ) ( )
x π
lim f x x π f π π π 0
®
é - + ù = - + =
ë û . Όμως παραπάνω βρήκαμε ότι
στο [ ]0,π ισχύει: ( ) ( )
f x x π f x x π 0³ - Û - + ³ , δηλαδή για τη συ-
νάρτηση ( ) ( )
h x f x x π= - + , [ ]
x 0,πÎ ισχύει: ( )
x π
limh x 0
®
= και όταν
x π® , η ( )
h x 0³ , άρα ( )
x π
1
lim
h x ®
= +¥ , ( )2 .
Γ4. Επειδή η f είναι κυρτή στο [ ]0,π , η f C είναι «πάνω» από την εφαπτομένη
2 ε , με εξαίρεση το σημείο επαφής ( x π= ), άρα για κάθε [ ] [ ]
x 1,e 0,πÎ Í ι-
σχύει:
( ) ( ) ( )
e e
:x 0
1 1
f x f x π π
f x x π 1 dx 1 dx
x x x x
> æ ö
> - Û > - Þ > -ç ÷
è ø ò ò
( ) [ ] ( )
e e
e
1
1 1
f x f x
dx x πlnx dx e πlne 1 πln1
x x
Û > - Û > - - + ò ò
( )
e
1
f x
dx e π 1.
x
Û > - -ò
Δίνεται η συνάρτηση ( )
[ )
[ ]
3 4
x
x , x 1,0
f x
e ημx , x 0,π
ì Î -
ï
= í
Î ïî
ΘΕΜΑ Δ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017