122 / 368
121
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δ1.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο διάστημα
[
]
1,π
-
και να
βρείτε τα κρίσιμα σημεία της.
Μονάδες 5
Δ2.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 6
Δ3.
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-
ράσταση της
f,
τη γραφική παράσταση της
g,
με
( )
5x
g x e
=
,
x
Î
, τον
άξονα
y y
¢
και την ευθεία
x π
=
.
Μονάδες 6
Δ4.
Να λύσετε την εξίσωση
( )
(
)
3π
3π
2
4
4
16e f x e 4x 3π 8 2
-
-
-
- =
.
Μονάδες 8
A
πάντηση
Δ1.
Έχουμε:
·
Η
( )
3 4
f x x
=
είναι συνεχής στο
(
)
1,0
-
, ως άρρητη
Ακόμη
( ) ( )
x 1
lim f x f 1 1
+
®-
= - =
, άρα είναι συνεχής στο
[
)
1,0
-
.
·
Η
( )
x
f x e ημx
= ×
είναι συνεχής στο
( )
0, π
ως γινόμενο συνεχών συναρ-
τήσεων.
Ακόμη
( ) ( )
x π
lim f x f π 0
-
®
= =
, άρα είναι συνεχής στο
(
]
0,π
.
·
( )
3 4
x 0
x 0
lim f x lim x 0
-
-
®
®
=
=
,
( )
(
)
x
x 0
x 0
lim f x lim e ημx 0
+
+
®
®
=
×
=
,
( )
f 0 0
=
Δηλαδή η
f
είναι συνεχής στο 0.
Τελικά, η
f
είναι συνεχής στο
[
]
1,π
-
.
Για τα κρίσιμα σημεία.
·
Στο
(
)
1,0
-
έχουμε:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
4
4
4
1
x 0
1
3 4
3
3
3
3
3
4
4
4
f x
x
x
x
x
x
x
x
3
3
3
<
-
¢
¢
¢ æ ö æ
ö
¢
¢
=
=
= - = - × - = - - = - -
ç
÷
ç ÷
è
ø
è ø
·
Στο
( )
0, π
έχουμε: