125 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
124
·
Θα υπολογίσουμε την τιμή της
f
στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα. Η με-
γαλύτερη εξ’ αυτών θα είναι το Μ και ελάχιστη εξ’ αυτών το
m:
§
( )
f 1 1
- =
§
( )
f π 0
=
§
( )
f 0 0
=
§
3π
4
3π 2
f
e
4 2
æ ö = ç ÷
è ø
Είναι
3π
3π
3π
: 2 0
4
4
4
2
1 e 2 2e
2 e
2
>
<
Û <
Û <
4
3π
θετικά μέλη 4
3π
4
2 e
4 e
æ ö
Û <
Û <
ç ÷
è ø
, που ισχύει, αφού:
2 3π
4 e e
< <
.
Επομένως,
m 0
=
και
3π
4
2
M e
2
=
.
Τότε
[
]
(
)
3π
4
2
f 1,π 0,
e
2
é
ù
- = ê
ú
ë
û
.
Δ3.
Είναι
( ) ( )
π
0
E f x g x dx
=
-
ò
.
Όμως για κάθε
[ ]
x 0,π
Î
ισχύουν:
( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
5x
x
5x
0 ημx 1
ημx e e f x g x f x g x 0
0 e e
£ £
ì
ü
ï
ï
Þ × £ Û £ Û - £
í
ý
< £ ï
ï
î
þ
Άρα
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
π
π
π
5x
x
0
0
0
E f x g x dx g x f x dx e e ημx dx
=
-
=
-
= - ×
ò
ò
ò
π
π
π
π
5x
5x
x
x
0
0
0 0
e
e dx e ημxdx
e ημxdx
5
é ù
=
- ×
=
- ×
ê ú
ë û
ò
ò
ò
Ας είναι
π
π
π
x
x
x
0
0
0
I
e ημx dx e ημx
e συνxdx
é
ù
= ×
= ×
- ×
ë
û
ò
ò
(
)
π
π
π
o
x
x
0
0
e ημπ e ημ0 e συνx
e ημx dx
æ
ö
é
ù
= ×
- ×
- ×
- × -
ç
÷
ë
û
è
ø
ò
(
)
π
0
π
e συνπ e συν0 Ι e 1 Ι
= - ×
- ×
+ = + -