Μαθηματικά Γ' Λυκείου

117 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
116
Δίνεται η συνάρτηση ( )
f x ημx= - , [ ]
x 0,πÎ και το σημείο
π π
Α ,
2 2
æ ö - ç
÷
è ø
.
Γ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( )1 ε , ( )2 ε της
γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να
βρείτε.
Μονάδες 8
Γ2. Αν ( )1 ε : y x= - και ( )2 ε : y x π= - είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ1,
τότε να σχεδιάσετε τις ( )1 ε , ( )2 ε και τη γραφική παράσταση της f, και να
αποδείξετε ότι
2
1
2
Ε π
1
Ε 8
= - όπου:
●
1 Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-
ράσταση της f και τις ευθείες ( )1 ε , ( )2 ε και
●
2 Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-
ράσταση της f και τον άξονα x x¢ .
Μονάδες 6
Γ3. Να υπολογίσετε το όριο
( )
( )
x π
f x x
lim
f x x π ®
+
- +
.
Μονάδες 4
Γ4. Να αποδείξετε ότι
( )
e
1
f x
dx e 1 π
x
> - - ò .
Μονάδες 7
Aπάντηση
Γ1. Η συνάρτηση ( )
h x ημx= ,είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο με
( )
h x συνx¢ = - επομένως η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ]0,π και παραγω-
γίσιμη στο [ ]0,π , με:
ΘΕΜΑ Γ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017