358 / 368
357
Απαντήσεις -Υποδείξεις
γ.
− −
2 2
Α ,
4 4
,
( )
Ο 0,0
,
1 1
Β ,
4 4
.
δ.
Είναι f και
−
1
f
)
+
στο 0,
1
.
ε.
7.
Θέμα 62
α.
Είναι
( )
(
)
+
=
lnx x f x
0
στο
(
)
+
1,
.
β.
Είναι
(
)
(
)
+ =
f 1,
.
γ.
=
x 2
.
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
1,e
για την
( )
= + −
h x 2lnx x 4
Επιπλέον h
(
)
+
στο 0,
1
Θέμα 63
α.
Θεώρημα Bolzano στο
2,5
για την f΄
και f΄γνησίως μονότονη στο
2,5
.
β.
Είναι f
(
)
+
στο 1,
4
.
Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
στο
( )
(
)
2,f 2
.
γ.
Ολοκληρώστε την ανισότητα του
β.
ερω-
τήματος.
δ.
Θεωρείστε F μια αρχική της f στο
(
)
+
1,
και χρησιμοποιήστε Θ.Μ.Τ. για την F στα
διαστήματα
2016,2017
,
2018,2019
.
ε.
7.
Θέμα 64
α.
Είναι
( )
( )
−
+
→
→
=
x 0
x 0
lim f x lim f x ...
β.
Είναι
(
)
(
)
)
− + = − +
f 1,
1,
.
Παρατηρήστε ότι
(
)
(
)
−
2017 f 1,0
,
)
(
)
+
2017 f 0,
και
( )
f 0 2017
.
γ.
Θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής για
την f στο
0,1
.
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
1,2
για την
( ) (
) ( )
(
)
(
) ( )
(
)
= −
+ + −
+
h x x 2 f κ 1 x 1 f λ 1
ε.
=
x ln2
.
Θέμα 65
Α.
Είναι
( )
(
)
−
+ − +
= + −
2
x
x lnλ λ
e
x
x
2
λ
f x e x 1 e
,
x
Β.
=
λ e
.
Γα.
=
x 0
,
=
x 7
.
Γβ.
Θεωρείστε
( )
( )
=
t
h t f e
,
t
και δείξ-
τε ότι h
στο
1
.
Θέμα 66
α.
Είναι
( ) (
)
= −
x
f x x 1 e
για
−
x
1
.
Επίσης
f συνεχής στο 1.
β.
Είναι
→+
=
3
3
t
1
lim t ημ 1
t
,
→+
+
=
+
2t
t
t
t
2t
2
2 2 2
lim
2
16 3
Επίσης,
( )
+
x
g x
e 1
γ.
Είναι
( )
= =
minf f 0 1
.
Θεώρημα Bolzano στο
0,1
για την g.
Δείξτε ότι g
στο
1
δ.
−
2
e 2e
2
ε.
Στο
(
)
−
3,1
.
Θέμα 67
α.
Θεώρημα Fermat για την
( )
( )
= − −
2x
h x e f 1 x 1
.
Για x κοντά στο 2 θεωρείστε
( )
( )
− − −
=
−
2
8x f 1 x 28
g x
x 2
β.
Είναι
( )
− =
2
f x 1 x
, για
x
γ.
Είναι
( )
= + − +
4
2
ΜΑ x 3x 10x 26
,
x
.
δ.
16
3
τ.μ.