360 / 368
359
Απαντήσεις -Υποδείξεις
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
0,1
για την
( ) ( )
( ) ( )
π x f x xf x f x
= + −
ε.
Θεώρημα Rolle στο
3 0
x ,x
για την
( )
( )
x
f x
h x e
x
=
Θέμα 74
α.
Δείξτε αρχικά ότι
( ) ( )
( )
0
x
x
0
0
2
0
x x e e
f x f x
3f x 4
4
− + −
−
+
.
β.
Δείξτε ότι
f
στο
<
γ.
Είναι
( )
(
)
2
f x f 1 2lnx 0
− +
2
x 1 2lnx 0
− −
Θεωρείστε
( )
2
g x x 1 2lnx
= − −
και δείξτε
ότι
ming 0
=
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
1,3
−
για την
( ) ( )
π x f x x
= −
Θέμα 75
α.
( )
x
x
e 1
f x
e x
−
=
−
.
β.
Δείξτε ότι η
( )
f x
έχει ακριβώς 2 ρίζες
και ότι αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυ-
τών.
γ.
y x 1
= +
δ.
Θ.Μ.Τ. για την F στο
0,x
με
(
)
1
x 1,x
ε.
Δείξτε ότι
( )
2
0
1
e e
G x dx
2
−
=
και
( )
( )
(
)
2 3
G 2
1
0
e e 1
G x dx
2
−
−
=
Θέμα 76
α.
Δείξτε ότι
( )
f 1 1
=
.
( )
f x x lnx
= +
,
x 0
.
β.
( )
f
f D
=
.
γ.
Δείξτε ότι
( )
f
0 f D
.
δ.
Θεώρημα Rolle στο
ρ,1
για την
( ) (
) ( )
2
h x x 1 f x
= −
ε.
Θ.Μ.Τ. στο
1,x
για την
( ) ( ) ( )
S t f t g t
= −
Θέμα 77
α.
Παρατηρήστε ότι
( )
( )
1
f 1 f 1 1
−
=
=
.
β.
1 m
min 3
.
γ.
Θεώρημα Rolle στο
0,1
για την
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
h t f x t f x t
−
=
−
δ.
1
6
τ.μ
Θέμα 78
α.
Δείξτε ότι
( )
f 1 0
=
.
Θεώρημα Fermat για την
( )
(
)
( )
f 3x 2
h x α 3f x
−
=
−
Είναι
( )
( )
( )
( )
(
)
f x
2
f x
e f x
f x
1 e
= −
+
,
x 0
β.
Για
x π
=
ισχύει ως προς το «=»
.
Για
)
x e,π
Θ.Μ.Τ. στο
x,π
για την f.
γ.
( )
1
x
f x e x
−
= +
,
x
Θ
.
Ε.Τ.
στο
1,2
για την
( )
1
f x
−
δ.
Θεώρημα Rolle στο
1,2
για την
( )
(
)
( )
2x 4
π x e 1 f x
−
= −
,
x
Θέμα 79
Α.
Δείξτε ότι
( )
f 1 e
=
.
( )
x
f x e xlnx
= +
,
x 0