359 / 368
Απαντήσεις – Υποδείξεις
358
ε.
= − +
3 7
y x
2 2
.
Θέμα 68
Α.
=
1
στο Δ 0,5
2
,
)
= +
2
στο Δ 5,
<
( )
= =
minf f 5 344
.
Β.
)
(
)
)
+ = +
f 0,
344,
.
Γ.
Είναι
( )
f x 0
για
x 0
.
Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
στο
( )
(
)
0,f 0
.
Δ.α.
( )
(
)
=
+ + −
2
Κ x 13 x 144 5 40 x
,
(
)
x 0,40
Δ.β.
( )
= =
minK K 5 344
€
/
m
.
Θέμα 69
α.
Θεωρείστε
( )
(
)
= + −
t
h t ln e 1 t
και δείξτε
ότι h
στο
>
.
β.
Για
( )
λ 1,2
−
Για
(
)
2
λ ,1 2,
3
+
+
Για
λ 1
=
1
2
Για
λ 2
=
1
2
γ.
Είναι
( ) (
=
f
f D 0,ln2
,
(
)
( )
−
→ + −
=
2
1
x ln e 1 2
lim f x 2
δ.
=
x 1
Θέμα 70
α.
( )
= − + +
2
f x
x 1 συνx
,
x
.
β.
Δεν υπάρχει.
γ.
2
2
1 9π 1,1 4π 1
− − + − +
.
δ.
−
ε.
(
)
2
2
6 π 1 π 1
3
+ +
+
−
Θέμα 71
Α.
Είναι
( )
(
)
(
)
x
x
g x
f x 1
lim lim
α ...
x 1
x x 1
→+
→+
−
=
+ =
−
−
Βα.
Θεώρημα Bolzano στο
1 2
ρ ,ρ
για την
g.
Ββ.
Θ.Μ.Τ. στο
1 2
ρ ,ρ
για την g.
Γα.
Είναι
( )
(
)
g ξ 2ξ 2 ...
f ξ 1 0
= − − =
Γβ.
Θεώρημα Rolle για την f στα
1
ρ 1,ξ 1
− −
και
2
ξ 1,ρ 1
− −
Επίσης, δείξτε ότι
(
)
f ξ 1 0
− =
Γγ.
Θεώρημα Rolle για την f΄ και επίσης
δείξτε ότι
(
)
f ξ 1 0
− =
.
Θέμα 72
Α.
Θ.Μ.Τ. στα
0,1
,
1,2
για την f.
Βα.
Θεώρημα Bolzano στο
1,2
για την
( ) (
) ( )
(
)
x
h x x 2 g x α x 1
= −
− −
Ββ.
Είναι
( )
( )
ξ
ξ 1
g ξ α
0 αg ξ 0
ξ 2
−
=
−
.
Γ.
Θ.Μ.Τ. στο
0,ξ
για την g.
Δα.
( )
y f 0 x
=
Δβ.
Δείξτε ότι
( ) ( )
( )
f 0 f 1 αg 0
= −
Δγ.
Προκύπτει άμεσα από το Δβ.
Θέμα 73
α.
Βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
Ο
ε
της
f
C
στο
( )
0,0
.
β.
Είναι
(
)
( )
θ 1 h
h 0
θ 1
f 1 h
f θ
lim
lim
h
θ 1
= +
→
→
+
=
−
και
(
)
( )
θ 1 h
h 0
θ 1
f 1 h
f θ
lim
lim
h
1 θ
= −
→
→
−
=
−
Επίσης, δείξτε ότι
( )
f 1 0
=
.
γ.
Θεώρημα Rolle στο
1 2
x ,x
για την
( )
( )
x
f x
h x e
x
=