364 / 368
363
Απαντήσεις -Υποδείξεις
Θεώρημα Rolle για
( )
( )
2
x
t x e f x
=
στο
διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της f από
το προηγούμενο Bolzano.
ε.
76 2 μον
sec
81
.
Θέμα 96
α.
Για x κοντά 2 θεωρούμε
( )
( ) ( )
2
f x g x x
h x
x 2
−
=
−
με
( )
( )
x 2
limh x 4 f 2
→
= +
.
β.
Είναι
( )
g x 2x 1
−
για κάθε
x
.
γ.
Είναι
( ) ( )
x 2
limG x G 2 2
→
= =
.
και
( )
G x 0
για
x 2
με τη βοήθεια
του Θ.Μ.Τ. για την g στο
2,x
με
x 2
.
δ.
Θ.Μ.Τ για
( )
f x
στα
2,0
−
και
0,2
ε.
Θεώρημα Bolzano στο
2,3
για την
( ) (
) ( ) (
)
φ x 5x 13 g x f 2x 6
= −
+ − + −
(
) ( )
x 2 g 4 1
− −
− −
(
)
( )
4
2
G x
x 3
dx ln4
x
− −
−
Θέμα 97
Α.
Δείξτε ότι
1
f
1
2
.
Β.
Δείξτε ότι
( )
f στο 0,1
1
Γα.
+
Γβ.
0
.
Δ.
Θεωρούμε ότι ισχύει.
Ε.
Είναι
( )
1 x x g x 1 x
− − −
, για κάθε
x 0,1
με την ισότητα όχι για κάθε
x 0,1
.
Θέμα 98
Α.
Για x κοντά στο 1 θεωρήστε
( )
( )
f x 1
g x
x 1
−
=
−
.
Β.
Δείξτε ότι
( )
βαθμ f x 2
=
Γα.
Θεώρημα Bolzano στο
0,α
για την
( ) ( ) ( )
φ x f x g x
= −
Γβ.
Είναι
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
h 0
g g x h g g x h
lim
g g x
2h
→
+ −
−
=
Θέμα 99
α.
Από την δοθείσα σχέση έχουμε
( )
(
) (
)
x
1 x
x
f x e
x e e
−
−
−
= + +
β.
Είναι
( )
f x 1
για κάθε
x
με την ισό-
τητα να ισχύει μόνο για
x 1
=
.
γ.
Θεώρημα Rolle στο
1,2
για την
( )
( )
G x 2g x 5x
=
+
.
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
1,2
για την
g
.
ε.
Θ.Μ.Τ για
( )
g x
στα
0
1,x
και
0
x ,2
.
στ.
Θ.Ε.Τ για
( )
g x
στΟ
1,2
.
Θέμα 100
Αα.
( )
(
)
2 t 1
t 1
Α e ,e
−
−
.
Αβ.
Λύστε ως προς t την
( )
y x t
=
.
Β.
Αρκεί να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
1
1
t
,1
e
τέτοιο ώστε
(
)
t 1
3
1
2 lnt 1 e 0
−
+ − =
Γ.
2
t 1
=
Δ.
Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση
( )
(
)
2
d t t t 1
= + +
,
1
t
,1
e
.