361 / 368
Απαντήσεις – Υποδείξεις
360
Β.
Δείξτε ότι η
( )
f x
έχει ακριβώς 1 ρίζα ρ
και ότι αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυ-
τής.
Είναι
( )
ρ
f ρ 0 ...
e lnρ 1
= = − −
Γ.
Δείξτε ότι
minf 0
.
Δα.
2
8 7
ln2 e
3 9
− +
.
Δβ.
Θ.Μ.Τ. στο
1,x
για την F.
Δγ.
Ολοκληρώστε την ανισότητα του Δβ.
Δδ.
0
.
Θέμα 80
α.
Για
(
)
x
,0
−
είναι
( )
2
f x 3x 2x 1
= + +
Για
(
)
x 0,
+
είναι
( )
2
f x 3x 2x 1
= + +
β.
4
στο
1
,
3
− −
,
3
στο
1
,
3
− +
Θεώρημα Bolzano για την f στο
0,1
γ.
1 λύση.
δ.
x 1
,
x 1
=
.
ε.
Θεωρείστε
( )
( )
f x 1
g x
x
+
=
και δείξτε ότι
g
(
)
στο 0,
+
1
.
στ.
Για
t 1,2
είναι
( )
f t 2
με το «=» για
t 1
=
.
13
Ι ln
2e
=
Θέμα 81
α.
Θ.Μ.Τ. στο
0,1
για την f
.
Θέστε
x κ
=
, στη δοθείσα σχέση.
β.
( )
minf x 2
=
.
γ.
Θ.Μ.Τ. για την f στα
1
0,
2
,
1
,1
2
.
δ.
Θ.Μ.Τ. για την f στα
0,t
,
t,1
.
ε.
( )
f x 2x 1
= −
,
x 0,1
.
στ.
x e,e
.
Θέμα 82
Α.
( ) (
)
x
f x 1 x e
= −
,
x
Β.
x 1
= −
Γ.
( )
x
1
e
...
f x 1
1 x
−
για
x 1
.
To αριστερό μέλος προκύπτει άμεσα.
Δ.
Θεώρημα Bolzano στο
2,3
για την
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
0
2
1
h x 1 ef α x 2 5 f t dt 4 x 3
−
= −
− +
− − −
Εα.
Είναι
( )
(
)
( )
2
2
h 0
g x g x h
lim
g x
h
→
− −
=
.
Εβ.
1 5
ln
3 4
τ.μ.
Θέμα 83
α.
( )
G 0 0
=
.
β.
( )
(
)
x
f x ln e x
= −
,
x
.
γ.
x 1
= −
.
δ.
Θ.Μ.Τ. για την f στα
2016,2017
και
2017,2018
ε.
0.
Θέμα 84
Α.
Θεωρείστε
( ) (
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
4
4
2
4
4
2
2
2
κ x x 1 f t t dt
x 1 tf t dt
= −
+ − −
και χρησιμοποιήστε Θ. Fermat.
Β.
Παρατηρήστε ότι
●
η f διατηρεί πρόσημο στο
2,4
●
( )
f x 1
=
, στο
(
) (
)
,2 4,
− +
.
Γα.
Είναι
( )
( )
( ) ( )
x 0
x 0
g 0 lim g x lim h x f x
+
+
→
→
=
=
.
Επίσης
( )
( )
x
x
lim g x lim f x
→+
→+
Γβ.
Αρκεί για
x 1
να δείξετε ότι
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
g 1 x g 1 g 1 h 1 x h 1 h 1
− +
− +