356 / 368
355
Απαντήσεις -Υποδείξεις
Δα.
Θεώρημα Rolle στο
0,3
για την
( ) ( )
= −
3
x
h x f x
3
.
Δβ.
Θεώρημα Bolzano στο
0
x ,3
για την
( ) ( )
= −
g x f x 3x
.
Θέμα 51
Α.
Από το σύνολο τιμών είναι
=−
minf 2
και
=
max f 3
Στη συνέχεια Θεώρημα Fermat.
Βα.
Θεώρημα Rolle στο
1 2
x ,x
για την
( )
( )
=
x
h x e f x
Ββ.
Θεώρημα Bolzano στο
1 2
x ,x
για την
( ) ( )
(
)
( )
= − +
x
2
π x f x e x f x
Βγ.
Δείξτε ότι υπάρχει
0
x
:
( )
=
0
f x 0
.
Κατόπιν δείξτε ότι
( )
=
g 1 0
.
Χρησιμοποιήστε τη μονοτονία της
και
δείξτε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχι-
στο στο
=
0
ρ 1
.
Θέμα 52
α.
Είναι
( )
f x 0
για
x 1
.
β.
Eίναι
( )
f x 0
για
x 1
.
γ.
Είναι
( ) ( )
f x f 1
για
x 1
.
δ.
Για
α 1
ισχύει ότι
α
e lnα
και
για
x 0
ισχύει ότι
x
e lnx
.
ε.
Για
2
x e,e
είναι
( )
( )
x
x
e lnx 1 f e f lnx
.
Θέμα 53
α.
Θ. Μ. Τ. για την f στο
0,x
με
x 0
.
β.
Δείξτε ότι
( )
h x 0
για κάθε
x 0
.
γ.
275
14
.
Θέμα 54
α.
Η
f
είναι συνεχής στο
.
β.
Για την f:
(
)
− −
στο
, 2
1
,
(
−
στο 2,1
1
στο 1,4
2
Τοπικό μέγιστο στο
=
1
x 1
το
2
3
Τοπικό ελάχιστο στο
=
2
x 4
το
−
5
Για την
f
:
(
)
− −
στο
, 2
1
,
(
− −
στο 2, 1
2
,
−
στο 1,0
1
,
στο 0,2
2
στο 2,3
1
,
στο 3,4
2
Τοπικό ελάχιστο στο
= −
3
x 1
το 0.
Τοπικό μέγιστο στο
=
4
x 0
το 1.
Τοπικό ελάχιστο στο
=
5
x 2
το
−
3
.
Τοπικό μέγιστο στο
=
6
x 3
το 0.
Τοπικό ελάχιστο στο
=
2
x 4
το
−
3
.
γ.
(
)
− −
στο
, 2
3
,
(
− −
στο 2, 1
4
,
−
στο 1,0
3
,
στο 0,2
4
στο 2,3
3
,
στο 3,4
4
Σημ. καμπ.
(
)
− −
Α 1, 2
,
( )
Ο 0,0
−
1
Γ 2,
3
,
(
)
−
Δ 3, 1
δ.
)
− +
3,
.
ε.
= −
x 2
,
=
y 0
στο
+
ζ.
η.
0,
+
,
+
, δεν υπάρχει,
−
, 1, 0
θ.
5
3
τ.μ.