353 / 368
Απαντήσεις – Υποδείξεις
352
Θέμα 26
α.
Είναι
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
xf x dx xf x
f x dx
−
−
−
=
−
.
β.
( )
f 1 1
− = −
,
( )
f 1 1
=
,
( )
f 2 2
= −
.
γ.
Θ. Bolzano για f στα
1,1
−
,
1,2
.
Επίσης f
στο 1,1
−
<
και
στο 1,2
>
.
δ.
Ι ln 2
=
.
Θέμα 27
α.
( )
lnx
, 1 x 0
f x x 1
1 , x 1
= −
=
.
β.
( )
(
)
2
1
1 lnx
x
, 1 x 0
x 1
f x
1
, x 1
2
− −
− =
−
=
.
γ.
f
(
)
στο 0,
+
>
,
(
)
(
)
(
)
f 0,
0,
+ = +
.
δ.
1 3
y x
2 2
= − +
,
y 2x 3
= − +
.
ε.
(
) (
)
2017 2018 f 2017 f 2018
.
στ.
Για
x 1,e
είναι
( ) ( )
f x f 1
.
Θέμα 28
α.
( )
(
)
t
h t ln e t
= −
,
t 0
.
β.
( )
(
)
d t t ln t 1
= − +
,
t 0
.
γ.
0
t 0
=
.
δ.
B’
τρόπος
.
Θέμα 29
α.
Eίναι
( ) ( )
x 3
limf x f 3
→
=
.
β.
( )
h f
f
h
D x D / f x D
=
.
γ.
(
)
g 4, 3 0,2
− − =
.
δ.
(
)
2035
g 4, 3
2018
− −
.
ε.
+
.
στ.
Για
152
3
τ.μ.
.
Θέμα 30
α.
Eίναι
( ) ( )
f x f 0
για κάθε
π π
x
,
2 2
−
.
β.
Δείξτε αρχικά ότι
( )
f 0 0
=
.
γ.
( )
π
3x εφx 2ημx,
x 0
2
f x
π
3x εφx 2ημx, 0 x
2
− −
−
=
− + +
.
Θέμα 31
α.
Θ. Fermat
β.
(
=
1
στο Δ 0,1
1
,
)
= +
2
στο Δ 1,
2
Ολικό μέγιστο στο
=
1
x 1
το
−
3
2
(
)
+
στο 0,
4
γ.
Ακριβώς 2 ρίζες
δ.
( )
= − +
1
ε : y 2x 2ln2
.
Είναι
( )
− +
f x 2x 2ln2
για κάθε
x 0
.
Θέμα 32
Α.
(
=
1
στο Δ 0,1
2
,
)
= +
2
στο Δ 1,
<
Ολικό ελάχιστο στο
=
1
x 1
το
3
2
Β.
Από τον ορισμό του ολικού ακροτάτου.
Γ.α.
Είναι
( )
= + −
x
lnx
g x
1 2
2
x
,
x 0
Γ.β.
Είναι
( )
g x 0
για κάθε
x 0
3
2
e 3e 16
Ε
τ.μ.
6
+ −
=
Θέμα 33
α.
f
(
=
1
στο Δ 0,1
<
,
)
= +
2
στο Δ 1,
>
Ολικό μέγιστο στο
=
1
x 1
το
−
1
g
(
)
+
στο 0,
3
β.
= −
y 4x 6