354 / 368
353
Απαντήσεις -Υποδείξεις
γ.
=
x 1
δ.
+
Θέμα 34
α.
Χρησιμοποιήστε θεώρημα Rolle για την
( )
P x
στα διαστήματα
1 2
ρ ,ρ
,
2 3
ρ ,ρ
.
β.
Είναι
( )
P x
Δ 0
γ.
Είναι
( )
( )
(
)
+
= + +
1
2
1 2
Ρ΄΄
Ρ΄΄
6α x x
x
x
4β
δ.
Όχι
Θέμα 35
α.
(
=
1
στο Δ 0,1
>
,
)
= +
2
στο Δ 1,
<
Ολικό ελάχιστο στο
=
1
x 1
το
−
1
β.
( )
)
= − +
f
f D 1,
γ.
Ακριβώς 2 ρίζες
δ.
Θεωρείστε
( )
= − −
+
4
3
h x 3x 4x 12xlnx 8
με
x 0
.
Δείξτε ότι η h είναι
)
+
στο 2,
<
.
ε.
Ισχύει ότι
( )
( )
( )
−
−
−
f α 1, f β 1, f γ 1
Έπειτα προσθέστε κατά μέλη.
Θέμα 36
α.
Είναι
( )
− =
g 1 0
και
( )
= + −
κ
3
g 0 e κ 1
.
Δείξτε ότι
( )
g 0 0
για κάθε
κ 0
.
β.
Δείξτε ότι
( )
=
3
f 1 2
γ.
Θεώρημα Bolzano για την f στο
1,2
δ.
0.
Θέμα 37
α.
=
λ 1
β.
Για x κοντά στο 2 θεωρείστε
( )
( )
+ −
=
−
2
g x x 3
b x
x 4
με
( )
→
=
x 2
limb x 2
γ.
−
7
δ.
Είναι
( )
−
= −
x
1
2
g x x e , x
Θέμα 38
α.
Είναι
( )
( )
− =
2
x
f x 1 2e f x ...
( )
− = +
2
x
x
f x e 1 e
,
x
β.
x 1
γ.
( ) (
)
= +
f
1,
δ.
Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
( )
=
π
f x e
Θέμα 39
α.
Είναι
( )
( )
−
+
→
→
=
x 2
x 2
lim g x lim g x ...
β.
Είναι
( )
( )
−
+
→−
→−
=
x 1
x 1
lim g x lim g x ...
γ.
Δείξτε ότι
( )
→
=
1
x
2
limf x 0
.
δ.
Θεώρημα Βolzano για την
( ) ( ) ( )
=
−
h x f x g x x
στο
−
1 1
,
2 2
ε.
Θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής για
την g στο
−
1,3
.
Θέμα 40
α.
g περιττή
( )
( )
=
− = −
x 0
g x g x ...
Αφού
=
f g
προκύπτει ότι
( )
(
)
+ +
− = −
μ 2 g 0 x 2λ 3x 4 ...
β.
Θεωρείστε
( )
= +
t
Σ t t 2e
,
t
γ.
( )
−
= + −
1
x
h x x 2e 2 , x
δ.
Είναι
ε.
( )
1
4x
f x
, x
3
−
=
.
Θέμα 41
α.
Πρέπει
( )
f x 0
για κάθε
x
και
( )
g x 0
για κάθε
x
.
Θεώρημα Fermat για την h.
β1.
Ακριβώς 2 ρίζες.