355 / 368
Απαντήσεις – Υποδείξεις
354
β2.
Θεώρημα Βolzano για την
( ) ( ) ( )
= −
π x f x g x
στο
0,2
.
β3.
Δείξτε ότι
( )
( )
f ξ g ξ
.
Θέμα 42
α.
Θεωρείστε
( )
= + +
3
t
π t t t e
,
t
.
β.
( )
−
= + + −
1
3 x
f x x e x 1
,
x
.
γ.
( )
Ο 0,0
δ.
x 0
Θέμα 43
α.
( )
= +
x
f x e lnx 1
,
)
+
x 1,
β.
2
x 1
3
γ.
=
x 1
δ.
Δείξτε ότι F
)
+
στο 1,
<
και ότι
)
−
+
1
f
στο 1,
f<
Θέμα 44
α.
Δείξτε ότι f
(
)
+
στο 0,
<
β.
= =
x 3, x 1
γ.
( )
= −
g x x 1
,
)
+
x 0,
δ.
+
2 2π
Θέμα 45
α.
Είναι
( )
f x 0
για κάθε
x
.
Θεώρημα Bolzano για την f στο
0,1
β.
( )
=
f
, ακριβώς μία ρίζα.
γ.
Παρατηρήστε ότι η f είναι κυρτή και
βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
της στο
( )
(
)
α,f α
.
δ.
Παρατηρήστε ότι
( )
( )
+ − =
f x x 3 f x
.
Θέμα 46
α.
( )
=
1
ε : x 1
,
( )
=
2
ε : y 1
στο
+
.
β.
(
−
=
1
1
στο Δ 0,e
2
,
)
−
= +
1
2
στο Δ e ,
<
(
)
(
)
(
)
+ = +
g 1,
0,
Η εξίσωση είναι αδύνατη
γ.
Θεώρημα Fermat.
δ.
Χρησιμοποιήστε τη μονοτονία της f.
Θέμα 47
A.
Είναι
( )
(
)
−
=
+
2
x x
x
x
α β lnβ lnα
f x
α β
.
Βα.
Αφού f κυρτή έχουμε ότι
( )
f x x
για κάθε
x
Ββ..
Θεώρημα Fermat για την
( )
= + −
x
x
x
g x α β 2e
Βγ.
Θεώρημα Bolzano στο
−
1,1
για την
( ) (
) ( )
(
)
( )
= +
+ −
x
h x x 1 f α e e f β
Θέμα 48
α.
Θεώρημα Bolzano για την
( )
f x
στο
−
1,0
και δείξτε ότι
f
στο
<
.
β.
Δείξτε ότι η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
στο
0
x
.
γ.
Αδύνατη.
δ.
Είναι
f
)
+
στο 0,
<
.
ε.
( ) ( )
( )
( )
(
)
=
+ +
0
x t
0
0
0
y t x t e 2x t 1
.
Θέμα 49
α.
Mε τη βοήθεια της (ε) βρείτε ότι
( )
=
f 1 0
και
( )
=
f 1 2
Με αντιπαράγωγιση προκύπτει ότι
( )
(
)
(
)
=
xf x xlnx
με
x 0
β.
Eίναι
( )
+
→
= +
x 0
lim f x
γ.
( )
(
)
Α 2,f 2
.
δ.
=
x 1
.
Θέμα 50
Α.
= − +
y x 1
Β.
Χρησιμοποιήστε την κυρτότητα.
Γ.
Θεώρημα Rolle για την f στο
−
1,0
.