363 / 368
Απαντήσεις – Υποδείξεις
362
Θέμα 91
Αα.
0.
Αβ
.
(
)
2
x 0
f 2017x 1
lim
x
→
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)
x 0
f 2017x 1 f 2017x 1
lim
x
→
−
+
=
.
Β.
( )
2
f x 4 x 9
= − +
,
x
.
Γα.
y x 4
= +
.
Γβ.
στο
4
.
Γγ.
4 11
y x
5 5
= − +
.
Γδ.
Αφού η f είναι κοίλη, η
f
C
είναι κάτω
από την εφαπτομένη της στο Β.
Θέμα 92
α.
Δείξτε με άτοπο ότι
( )
f x 0
για κάθε
(
)
x 0,
+
.
β.
( )
(
)
( )
( )
3
2
1
1
g 1 f t 1 dt
f t dt g 1
− = − =
=
.
γ.
Θ.Μ.Τ. για την H (μια αρχική της h) στα
1,2
και
2,3
δ.
Θεώρημα Bolzano στο
1,2
για την
( )
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
φ x
h t h u du dt x 2
=
− +
( )
( )
(
)
2
2
1
f x h t dt
+
Θέμα 93
α.
Για το
( )
g 0
θεωρείστε βοηθητική συ-
νάρτηση ενώ για το
( )
f 0
χρησιμοποιή-
στε d.L.H
.
β.
x
y
3
=
.
γ.
Για
x 0
η
g
C
κάτω από την
( )
ε
.
Για
x 0
η
g
C
πάνω από την
( )
ε
.
δ.
ε.
0.
στ.
Δείξτε ότι η
( ) (
)
h x g εφx x
=
−
,
π π
x
,
2 2
−
είναι σταθερή.
ζ.
( )
x
π
lim g x
2
→−
= −
,
( )
x
π
lim g x
2
→+
=
.
η.
( )
1
g x εφx
−
=
,
π π
x
,
2 2
−
.
θ.
π ln4
4
−
.
ι.
Κάντε πράξεις.
ια.
Χρησιμοποιήστε το ερώτημα
ι.
.
ιβ.
π ln4 4
4
+ −
τ.μ.
Θέμα 94
α.
Είναι
(
) (
)
( )
h 0
g 1 2h g 1 h
lim
3g 1
h
→
+ − −
=
.
β.
y 0
=
.
γ.
( ) (
)
f
0,
= +
.
δ.
(
)
Α 0, 6
.
ε.
Θεώρημα Rolle στο
0,α
για την
( ) ( )
φ x g x συνx
=
Θέμα 95
α.
( )
f 0 4
=
,
( )
f 1 1
=
.
β.
Θ. Fermat για την
( )
α x
h x x α
= −
.
γ.
Mε άτοπο.
δ.
Θεώρημα Bolzano για
( )
f x
στα
0
0,x
και
0
x ,1