34 / 368
33
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
23.
Ορισμός
22
. Ορισμός
P
Η f είναι
παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα
[ ]
α β
,
,
του πεδίου
ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο
( )
α,β
και επιπλέον ισχύει
( ) ( )
x
α
f x f
α
lim
x
α
+
®
-
Î
-
και
( ) ( )
x
β
f x f
β
lim
x
β
-
®
-
Î
-
.
Παράγωγος Συνάρτηση
Θεωρούμε τώρα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και Α
1
τo
σύνολο των σημεί-
ων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Ορίζουμε συνάρτηση
( )
1
f :A
x f x
¢
¢
® ®
η οποία ονομάζεται
πρώτη παράγωγος της f
ή απλά
παράγωγος της f
, που
μπορούμε να τη συμβολίσουμε και με
df
dx
.
P
Αν υποθέσουμε ότι το
1
Α
είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η
παράγωγος της
f
¢
, αν υπάρχει, λέγεται
δεύτερη παράγωγος της f
και
συμβολίζεται με
f
¢¢
.
P
Επαγωγικά ορίζεται η
νιοστή παράγωγος της f
,
με
ν 3
³
, και συμβολί-
ζεται με
( )
ν
f
. Δηλαδή
ν
ν
f
f
-
¢
é ù
= ë û
( )
( 1)
,
ν 3
³
.
Εξίσωση Εφαπτομένης
Έστω f μια συνάρτηση και
( )
(
)
0
0
A x ,f x
ένα σημείο της
f
C
. Αν υπάρχει το
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x
®
-
-
και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφα-
πτομένη της
f
C
στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει
συντελεστή διεύθυνσης λ.