38 / 368
37
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
33
. Ορισμός
34
. Ορισμός
35
. Θεώρημα
Κυρτότητα Συνάρτησης
Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο
εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι:
P
Η συνάρτηση f στρέφει τα
κοίλα προς τα άνω
ή είναι
κυρτή
στο Δ, αν
η
f
¢
είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.
P
Η συνάρτηση f στρέφει τα
κοίλα προς τα κάτω
ή είναι
κοίλη
στο Δ, αν
η
f
¢
είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.
Σημεία Καμπής
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα
( )
α,β
, με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο του
0
x
. Αν
P
η f είναι κυρτή στο
(
)
0
α,x
και κοίλη στο
(
)
0
x ,
β
, ή αντιστρόφως, και
P
η
f
C
έχει εφαπτομένη στο σημείο
( )
(
)
0
0
A x ,f x
,
τότε το σημείο
( )
(
)
0
0
A x ,f x
ονομάζεται
σημείο καμπής
της γραφικής παρά-
στασης της f.
Κανόνες Del’ Hospital
P
Αν
( )
0
x x
lim f x 0
®
=
,
( )
0
x x
lim g x 0
®
=
,
0
x
{ ,
}
Î È -¥ + ¥
και υπάρχει το
( )
( )
0
x x
f x
lim
g x
®
¢
¢
(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:
( )
( )
( )
( )
0
0
x x
x x
f x
f x
lim lim
g x
g x
®
®
¢
=
¢
.
P
Αν
( )
0
x x
lim f x
®
= +¥
,
( )
0
x x
lim g x
®
= +¥
,
0
x
{ ,
}
Î È -¥ + ¥
και υπάρχει το
( )
( )
0
x x
f x
lim
g x
®
¢
¢
(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:
( )
( )
( )
( )
0
0
x x
x x
f x
f x
lim lim
g x
g x
®
®
¢
=
¢