Μαθηματικά Γ' Λυκείου

40 / 368

39
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
40. Ορισμός
Ορισμός Εμβαδού
Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα [ ]α,β , με ( ) ³
f x 0 για κάθε
[ ]
Î
x α,β και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον
άξονα των x και τις ευθείες x α = , x β = .
Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω :
P Χωρίζουμε το διάστημα [ ]α,β σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους
β α
Δx
ν
-
= , με τα σημεία 0 1 2 ν α x x x ... x β= < < < < = .
P Σε κάθε υποδιάστημα [ ]
-
κ 1 κ x ,x επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο
κ ξ
και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση Δx και ύψη τα ( )κ f ξ .
Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι
( ) ( ) ( ) ( )
= + + + + +
ν 1 2 κ ν S f ξ Δx f ξ Δx f ξ Δx f ξ Δx .
P Υπολογίζουμε το ν
ν
lim S
®+¥
.
Αποδεικνύεται ότι το ν
ν
limS
®¥
υπάρχει στο , είναι ανεξάρτητο από την επιλογή
των σημείων κ ξ και ονομάζεται εμβαδόν του επιπέδου χωρίου Ω. το Το ν
ν
limS
®¥
συμβολίζεται με ( )
Ε Ω και ισχύει Ε(Ω) 0³ .