45 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
44
P
Αν υπάρχει το
( )
0
x x
lim f x
®
και ισχύει
( )
f x 0
>
κοντά στο
0
x
,
τότε
( )
0
x x
lim f x 0
®
³
.
P
Αν υπάρχει το
( )
0
x x
lim f x
®
και ισχύει
( )
f x 0
<
κοντά στο
0
x
,
τότε
( )
0
x x
lim f x 0
®
£
.
P
Αν οι συναρτήσεις
f,g
έχουν όριο στο
0
x
και ισχύει
( ) ( )
f x g x
£
κοντά
στο
0
x
, τότε
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
£
P
Αν υπάρχουν τα
( )
0
x x
lim f x
®
,
( )
0
x x
lim g x
®
και ισχύει:
Ø
( ) ( )
f x g x
>
κοντά στο
0
x
,
τότε
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
³
.
Ø
( ) ( )
f x g x
<
κοντά στο
0
x
,
τότε
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
£
.
P
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
>
τότε
( ) ( )
f x g x
>
κοντά στο
0
x
.
P
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
<
τότε
( ) ( )
f x g x
<
κοντά στο
0
x
.
P
Αν
( ) ( )
f x g x
=
κοντά στο
0
x
,
τότε
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
=
ενώ αν
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
=
δεν ισχύει πάντα
ότι
( ) ( )
f x g x
=
.
P
Ισχύει
ημx x
£
, για κάθε
x
Î
.
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν
x 0
=
.
P
Ισχύουν
x 0
ημx
lim 1
x
®
=
και
x 0
συνx 1
lim
0
x
®
-
=
P
Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα
όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής
(
) (
)
0
0
α,x
x ,β
È
, ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες:
Ø
( )
( )
( )
0
0
0
x x
x x
x x
lim f x
lim f x lim f x
-
+
®
®
®
= +¥ Û =
= +¥
Ø
( )
( )
( )
0
0
0
x x
x x
x x
lim f x
lim f x lim f x
-
+
®
®
®
= -¥ Û =
= -¥
.