49 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
48
με πεδίο ορισμού το
[ ]
α,β
είναι το κλειστό διάστημα
[
]
m,M
, όπου m η
ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.
P
Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή
0
t
, είναι η παρά-
γωγος της συνάρτησης θέσης
( )
x S t
=
τη χρονική στιγμή
0
t
. Δηλαδή, εί-
ναι
( )
( )
o
o
υ t
S t
¢=
.
P
Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ’ ένα σημείο
0
x
, τότε, σύμφωνα
με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
.
P
Παράγωγος γινομένου
.
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο
0
x
, τότε και η συνάρτηση
f g
×
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
f g x f x g x f x g x
¢
¢
¢
×
=
+
.
P
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες
σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για
κάθε
x
Δ
Î
ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f g x f x g x f x g x
¢
¢
¢
×
=
+
.
P
Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συ-
ναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει:
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
f x g x h x
f x g x h x
f x g x h x f x g x h x
¢
¢
¢
é
ù
¢
=
×
=
×
+
×
ë
û
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x f x g x h x f x g x h x
¢
¢
¢
= é
+
ù
+
ë
û
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x f x g x h x f x g x h x
¢
¢
¢
=
+
+
.
P
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο
0
x
και
( )
0
g x 0
¹
, τότε
και η συνάρτηση
f
g
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και ισχύει:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
2
0
f x g x f x g x
f
x
g
g x
¢
¢
¢
-
æ ö
=
ç ÷
è ø
é
ù
ë
û
P
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και η f είναι παραγωγίσιμη
στο
( )
0
g x
, τότε η συνάρτηση
f g
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και ισχύει
( ) ( )
( )
(
)
( )
0
0
0
f g x f g x g x
¢
¢
¢
=
×