50 / 368
49
Πρσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
P
Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η
f είναι παραγωγίσιμη στο
( )
g
Δ
, τότε η συνάρτηση
f g
είναι παραγωγί-
σιμη στο Δ και ισχύει
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
¢
¢
¢
=
×
f g x
f g x g x
.
P
Ο ρυθμός μεταβολής της
ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τη χρονική
στιγμή t
o
είναι η παράγωγος
( )
o
υ t
¢
.
Η παράγωγος
( )
o
υ t
¢
λέγεται στιγ-
μιαία επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t
o
και συμβολίζεται με
( )
o
α t
, δηλαδή:
( )
( )
( )
o
o
o
α t
υ t
S t .
¢
¢¢
=
=
P
Στην οικονομία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ
εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος.
Έτσι, η παράγωγος
( )
o
Κ x
¢
παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους
Κ ως προς την ποσότητα x, όταν
=
0
x x
και λέγεται
οριακό κόστος στο x
o
.
Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες
οριακή είσπραξη στο x
o
και
οριακό
κέρδος στο x
o
.
P
Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι
( ) ( )
¢
=
f x f x
για κάθε
x
Î
,τότε
( )
x
f x ce
=
για κάθε
x
Î
.
Σημείωση:
Αντί του
μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα Δ.
P
Αν η
f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η
παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο
εσωτερικό του Δ.
P
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο
( )
o
x
α,β
Î
και είναι πα-
ραγωγίσιμη στο
o
x
, τότε η εφαπτομένη της
f
C
στο σημείο
( )
(
)
o
o
Μ x
,f x
είναι παράλληλη στον άξονα
x x
¢
.
P
Έστω μια συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές πα-
ραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
Ø
Αν
( )
f x 0
¢¢
>
για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι
κυρτή στο Δ.
Ø
Αν
( )
f x 0
¢¢
<
για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι
κοίλη στο Δ.
Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει.