51 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
50
P
Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’
ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε
κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “κάτω” (αντιστοίχως “πάνω”) από τη γρα-
φική της παράσταση , με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
P
Αν το
( )
(
)
0
0
A x ,f x
είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε
( )
0
f x 0
¢¢
=
.
P
Πιθανές θέσεις σημείου καμπής είναι:
Ø
Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η
¢¢
f
μηδενίζεται.
Ø
Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η
¢¢
f
.
P
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα
( )
α,β
και
( )
0
x
α,β
Î
.
·
Αν η
f
¢¢
αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του
0
x
και
·
ορίζεται εφαπτομένη της
f
C
στο
( )
(
)
0
0
A x ,f x
,τότε το
( )
(
)
0
0
A x ,f x
εί-
ναι σημείο καμπής της
f
C
.
P
Η ευθεία
y
λx β
= +
είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο
+¥
, αν και μόνο αν
( )
x
f x
lim
λ
x
®+¥
= Î
και
( )
x
lim f x
λx β
®+¥
é - ù = Î
ë
û
(
αντι-
στοίχως στο
-¥
).
P
Αποδεικνύεται ότι:
Ø
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2
δεν έχουν ασύμπτωτες.
Ø
Οι ρητές συναρτήσεις
( )
( )
P x
Q x
, με βαθμό του αριθμητή
( )
P x
μεγαλύ-
τερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έ-
χουν πλάγιες ασύμπτωτες.
P
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε:
Ø
Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f
δεν ορίζεται.
Ø
Στα σημεία ασυνέχειας
του πεδίου ορισμού της.
Ø
Στο
+¥
,
-¥
, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της
μορφής
(
)
α,
+¥
και
(
)
,
α
-¥
αντιστοίχως.