56 / 368
55
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Πρόταση
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι
f g
και
g f
τότε αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
( )
f x lnx
=
και
( )
g x x
=
Πρόταση
Κάθε συνάρτηση
1 1
" "
-
είναι υποχρεωτικά
γνησίως
μονότονη
στο πεδίο ορισμού της
.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
( )
x , x 0
g x 1
, x 0
x
£
ì
ï
= í
>
ïî
Πρόταση
Αν
( )
0
x x
lim f x
®
= -¥
και
( )
0
x x
lim g x
®
= +¥
τότε υποχρεωτικά
ισχύει ότι
( ) ( )
0
x x
lim f x g x 0
®
é
ù
+
=
ë
û
.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
Έστω οι συναρτήσεις
( )
2
1
f x
1
x
= - +
,
x 0
¹
και
( )
2
1
g x
x
=
,
x 0
¹
.
Είναι
2
x 0
x 0
1
limf(x) lim 1
x
®
®
æ
ö
= - + = -¥
ç
÷
è
ø
και
2
x 0
x 0
1
limg(x) lim
x
®
®
æ ö
=
= +¥ ç ÷
è ø
.
Όμως
( )
( )
2
2
x 0
x 0
x 0
1
1
lim f(x) g x lim 1
lim 1 1
x
x
®
®
®
æ
ö
é + ù = - + + =
=
ç
÷
ë
û
è
ø
.