59 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
58
Πρόταση
Για να είναι μια συνάρτηση f
παραγωγίσιμη στο
0
x
αρκεί να υπάρχουν στο
R
τα όρια
( )
( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x
+
®
-
-
και
( )
( )
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x
-
®
-
-
.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
Έστω η συνάρτηση
( )
3
x , x 0
f x
5x , x 0
ì
< ï
= í
³ ïî
.
Είναι
( )
3
x 0
x 0
f(x) f 0
x 0
lim
lim 0
x 0
x
=
=
®
®
-
-
=
=
-
και
( )
x 0
x 0
f(x) f 0
5x 0
lim
lim 5
x 0
x
+
=
®
®
-
-
=
=
-
.
Αφού
( )
( )
x 0
x 0
f(x) f 0
f(x) f 0
lim
lim
x 0
x 0
=
+
®
®
-
-
¹
-
-
η f
δεν είναι παραγω-
γίσιμη στο 0.
Πρόταση
Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα σημείο
0
x
του πεδί-
ου ορισμού της
είναι υποχρεωτικά και παραγωγίσιμη
σε αυτό.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
H
συνάρτηση
( )
f x x
=
είναι
συνεχής
στο
0
x 0
=
, αλλά δεν είναι
παραγωγίσιμη σ’ αυτό