57 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
56
Πρόταση
Αν
( )
0
1
x x
lim f x
+
®
= Î
R
και
( )
0
2
x x
lim f x
-
®
= Î
R
τότε υπο-
χρεωτικά υπάρχει στο
R
το
( )
0
x x
lim f x 0
®
=
.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
Έστω η συνάρτηση
( )
x
f x
x
=
,
x 0
¹
.
●
Για
x 0
<
είναι
( )
x
f x
1
x
-
= = -
οπότε
( )
x 0
lim f x 1
=
®
= -
●
Για
x 0
>
είναι
( )
x
f x
1
x
= =
,
οπότε
( )
x 0
lim f x 1
+
®
=
Αφού
( )
( )
x 0
x 0
lim f x lim f x
=
+
®
®
¹
δεν υπάρχει το όριο της f
στο
0
x 0
=
.
Πρόταση
Η μόνη περίπτωση ώστε μια συνάρτηση f
να μην είναι συ-
νεχής σε ένα σημείο
0
x
του πεδίου ορισμού της είναι να
μην υπάρχει το όριό της στο
0
x
.
Απάντηση
Λάθος
Αντιπαράδειγμα
( )
2
x 1
, x 1
f x x 1
3 , x 1
ì -
¹
ï
= -í
ï
=
î