338 / 368
337
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 93
β
.
Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2
3
1
3
2
2
f t dt x , x 0
g x
f t 1 dt x , x 0
ì
×
³
ï
= í
ï
- ×
<
î
ò
ò
ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος
Rolle
στο διάστημα
[
]
Δ 1,1
= -
.
Επιπλέον θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
(
)
2
h x f x 1
= +
με
x 0
>
.
γ
.
Να αποδείξετε ότι
( )
( )
3
2
2
1
h x dx h x dx
>
ò
ò
.
δ
.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( ) ( )
(
)
(
)
(
) ( )
( )
(
)
2
3
3
2
2
2
1
h t h u du dt x 2 f x h t dt 0
- +
=
ò
ò
ò
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
( )
1,2
.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
g :
®
για την οποία ισχύει
( )
2
1
g x
1 x
¢
=
+
για κάθε
x
Î
.
Δίνεται επιπλέον μια συνάρτηση
f :
®
για την οποία ισχύουν
●
( )
( )
2
x g x
f x
x
-
=
για κάθε
*
x
Î
●
Η
f
είναι συνεχής στο 0.
α
.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
g 0 f 0 0
= =
.
β.
Να αποδείξετε ότι η
f
C
δέχεται εφαπτομένη στο
( )
Ο 0,0
και να βρείτε την
εξίσωσή της.
γ.
Να αποδείξετε ότι η
g
C
έχει σημείο καμπής το
( )
Ο 0,0
και να βρείτε τη σχε-
τική θέση της
g
C
με την ευθεία
( )
ε : y x
=
.
δ.
Να βρείτε το πρόσημο των
f
και
g.