Μαθηματικά Γ' Λυκείου

336 / 368

335
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 89
Θέμα 90
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ® για την οποία ισχύει
( ) ( ) 2
f x 4f x 32x 16x¢ = + - για κάθε x Î και ( )
f 0 1= .
α. Να αποδείξετε ότι ( ) 4x 2
f x e 8x= - .
β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
γ. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )
4f 2x 3f x f 5x< + , για κάθε ( )
x 0,Î +¥ .
δ. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )
1
2 4
1
2
f t
e 2 ln2 dt e 8 ln2
t
- < < - ò .
ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 4x
1
2
f t
2x dt x 1 3f x f 5x 4f 2x e 2 ln4x
t
- - + - = - ò
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
1
,1
2
æ ö
ç ÷
è ø
.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ® με ( )
f 0 ln2= - ώστε
( ) ( )
f x
e 1 f x¢ = + για κάθε x Î .
α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( )
x
f x ln e 1= - + , x Î .
β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξί-
σωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο της ( ) ( )
Α 0,f 0 .
γ. Να αποδείξετε ότι ( ) 1
0
1 ln16
f x dx
4
+
< - ò .
δ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( )
2
f x f lnx f x f 0+ = + στο διάστημα ( )
0, +¥ .
ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )
0 x 0,1Î τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 f x ln e 1 ln2 x ln e 1= + - - + .
στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )
1 2 ξ ,ξ 0,1Î τέτοια ώστε
( ) ( ) 2
1 2
e 1
f ξ f ξ ln
2
+æö
¢ ¢ = ç ÷
è ø
.