337 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
336
Θέμα 92
Θέμα 91
Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση
f :
®
, της οποίας η
f
C
διέρχεται από το
σημείο
( )
Α 0,1
.
Α
.
Αν η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x 0
=
τότε:
Αα.
Να υπολογίσετε το
(
)
2
x 0
f
ημ x 1
lim
ημx
®
-
.
Αβ
.
Να αποδείξετε ότι
(
)
( )
2
x 0
f 2017x 1
lim
4034f 0
x
®
-
¢
=
.
Β
.
Αν επιπλέον για την
f
ισχύει
( )
( )
2
2
f x 8f x x 7
- = -
για κάθε
x
Î
, να βρείτε
τον τύπο της
.
Γ
.
Αν
( )
2
f x 4 x 9
= - +
,
x
Î
, τότε:
Γα.
Να βρείτε την ασύμπτωτη της
f
C
στο
-¥
.
Γβ.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς την κυρτότητα.
Γγ.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
f
C
που διέρχεται από το
σημείο
(
)
Β 1,3
-
.
Γδ.
Να αποδείξετε ότι
( )
1
1
22
f x dx
5
-
<
ò
.
( )
(
)
(
)
(
)
0
0
f x ln e 1 ln2 x ln e 1
= + -
- +
.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
με συνεχή πρώτη παράγω-
γο για την οποία ισχύουν:
●
( )
f 1 1
¢
¹ -
●
( )
f 1 1
=
●
( )
(
)
( ) ( )
2
2
f f x f x f x x
+ = +
για κάθε
x 0
>
.
α
.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησιως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
.