343 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
342
Θέμα 99
Δίνονται οι συναρτήσεις
f, g :
®
για τις οποίες ισχύουν
●
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
.
●
( )
( )
x
f x e f x e 1
¢
+ = + +
για κάθε
x
Î
και
( )
f 0 1 e
+ =
.
●
( )
(
)
( )
(
)
2f g 1 1 3f 2g 2 2 5
¢
¢
- +
+ £
●
Η
g
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
και κοίλη στο
.
α
.
Να αποδείξετε ότι
( ) (
)
x
f x x 2 e e 1
= - + +
,
x
Î
και
( )
f x 1
³
για κάθε
x
Î
.
β
.
Να αποδείξετε ότι
( )
g 1 2
¢
=
και
( )
2g 2 1 0
¢
+ =
.
γ.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
ξ 1,2
Î
τέτοιο ώστε
( ) ( )
( )
g 1 g
ξ 10g 2
¢
¢
¢
=
.
δ
.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
g
έχει μοναδική θέση
0
x
ολικού μεγίστου
στο διάστημα
( )
1,2
.
ε
.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
( )
1 2
x , x 1,2
Î
, με
1
2
x x
<
τέτοια ώστε
( )
( )
1
2
2
1
1
0
g x 2g x
+
+
=
¢¢
¢¢
.
στ.
Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι
( )
g x x
¹
για κάθε
x
Î
, να αποδείξετε ότι
υπάρχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη της
g
C
που σχηματίζει με τους άξονες
συντεταγμένων ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.