Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
340
Θέμα 97
●
( )
f 2 4
- = -
και
( )
f 2 4
=
.
● Η
g
είναι κοίλη στο
.
●
( ) ( )
( )
2
x 2
f x g x x
lim
f 2 4
x 2
®
-
¢= +
-
.
α.
Να αποδείξετε ότι
( )
g 2 1
=
και
( )
g 2 2
¢
=
.
β.
Να αποδείξετε ότι
( )
x
lim g x
®-¥
= -¥
.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
( )
( )
( )
( )
( )
( )
g x 1 g x
g x
g x
x
g x 1
,x 2
x 2
G x
2
3
lim
,x 2
2 e
+
®-¥
ì
-
>
ïï
-
= í
+
ï
=
ï
-
î
.
γ.
Να αποδείξετε ότι η
G
είναι γνησίως φθίνουσα στο
[
)
2,
+¥
.
δ.
Να αποδείξετε ότι
( )
f 0 0
=
.
ε.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
(
) ( ) (
) (
) ( )
(
)
( )
4
2
G x
5x 13 g x f 2x 6 x 2 g 4 1 x 3
dx ln4
x
æ
ö
-
+ - + = -
+ + -
-
ç
÷
è
ø
ò
έχει τουλάχιστον μία λύση στο
( )
2,3
.
Δίνονται οι συναρτήσεις
[ ]
f : 0,1
®
,
[ ]
g : 0,1
®
για τις οποίες ισχύουν
●
f
συνεχής στο
[ ]
0,1
●
( ) (
)
(
)
( )
2
x
f x x 1 e 1 2f x 1
+ - - = -
για κάθε
[ ]
x 0,1
Î
●
( ) ( )
g x f x x
= -
,
[ ]
x 0,1
Î
● Για την
g
ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος
Bolzano
στο
1
0,
2
é ù
ê ú ë û
.
A.
Να βρείτε τον τύπο της
f.