344 / 368
343
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 100
Δύο σώματα Α και Β κινούνται κατά μήκος της παραβολής
( )
2
f x x
=
. Αν
( )
x t
είναι η τετμημένη του κινητού Α,
( )
u t
η ταχύτητα απομάκρυνσής του από τον
άξονα
y y
¢
και
( )
α t
ο ρυθμός μεταβολής του
( )
u t
τότε:
Α
.
α
.
Αν ισχύει
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
t 1
2
x t
α t u t e α t u t
-
- =
-
για
(
]
t 0,1
Î
και
( )
x t 0
¢
¹
,
( )
x 1 1
=
,
( )
x 1 1
¢
=
να βρείτε τις συντεταγμένες του σώματος Α σε συνάρ-
τηση με το
t.
β.
Αν οι συντεταγμένες του Α σε συνάρτηση με το χρόνο είναι
( )
(
)
2 t 1
t 1
Α e ,e
-
-
, για
(
]
t 0,1
Î
και η τετμημένη του σώματος Β είναι
( )
1
x t
-
να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του σημείου Β είναι
(
) (
)
(
)
2
lnt 1 , lnt 1
- +
+
για
1
t
,1
e
æ ù
Î ç ú è û
.
B.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική χρονική στιγμή
1
1
t
,1
e
æ ö
Î ç ÷
è ø
στην οποία η
παραβολή
f
C
χωρίζεται σε δύο ισεμβαδικά χωρία από τις οριζόντιες ευθείες
που διέρχονται από τα σώματα Α και Β.
Γ
.
Αν η εφαπτομένη της
f
C
στο σώμα Α τέμνει τον
x x
¢
στο σημείο
( )
(
)
Μ γ t ,0
και η εφαπτομένης της
f
C
στο σώμα Β τέμνει τον
x x
¢
στο σημείο
( )
(
)
Ν β t ,0
,
να βρείτε τη χρονική σγιμή
2
1
t
,1
e
æ ù
Î ç ú è û
, για την οποία ισχύει
( )
( )
γ t
β t
¢
¢ = -
.
Δ
.
Αν
(
)
Γ 0, 1
-
, με
1
2
x x
<
τέτοια ώστε
είναι το σημείο τομής των δύο παραπά-
νω ευθειών της χρονική στιγμή
2
t 1
=
, να δείξετε ότι για κάθε
1
t
,1
e
æ ù
Î ç ú è û
η
απόσταση του σώματος Α από το σημείο Γ είναι μεγαλύτερη ή ίση από την
απόσταση του σώματος Β από το σημείο Γ
.