Μαθηματικά Γ' Λυκείου

340 / 368

339
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 96
Θέμα 95
ε. Αν < < π
0 α
2
και ( )
( )
( )
= ò g α
g 0
f x dx 0 , να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
0 x 0, α τέτοιο ώστε
( ) ( )
¢ = ×
0 0 0 g x εφx g x
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
g x x 4x 1= + + , x Î και μια παραγωγίσιμη συνάρ-
τηση f : ® για τις οποίες ισχύουν:
● Η ευθεία ( ) ( ) ( )
ε : y f 1 x f 0 3= + - εφάπτεται της γραφικής παράστασης της g
στο σημείο ( ) ( )
A 0,g 0 .
● ( ) 1
0
f x dx α e = - ò όπου α είναι θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε
α x
x α £ για κάθε x 0> .
α. Να υπολογίσετε τους αριθμούς ( )
f 0 και ( )
f 1 .
β. Να αποδείξετε ότι α e= .
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )
0 x 0,1Î ώστε ( )0 f x 0< .
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( )
ξ 0,1Î ώστε ( ) ( )
2ξ f ξ f ξ 0¢ × + = .
ε. Ένα σημείο ( ) ( )
Β κ,g κ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτη-
σης g με τέτοιο τρόπο ώστε η τετμημένη του να μεταβάλλεται με ρυθμό
( ) ( )
Κ t K t¢ = μον.
sec
όπου t ο χρόνος.
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομέ-
νης της γραφικής παράστασης της g στο Β τη χρονική στιγμή που κ 2= .
Δίνονται οι συναρτήσεις f : ® και g : ® για τις οποίες ισχύουν:
● Η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και ( )
f x 2¢ £ για κάθε xÎ .