Μαθηματικά Γ' Λυκείου

335 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
334
Θέμα 87
Θέμα 88
Δίνεται η συνάρτηση ( )
f x x = - , x 0£ .
Α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και να βρείτε
το σύνολο τιμών της.
Β. Ένα υλικό σημείο ( )
Α α, α - , α 0< κινείται στη f C με ρυθμό μεταβολής της
τετμημένης του ( ) ( )
α t α t ¢ = - . Επίσης υλικό σημείο ( )
Μ x,y με x 0> κινείται
στην ευθεία (ε) με εξίσωση y x= .
Bα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας ΑΟΜ θ= , όπου Ο η αρχή των
αξόνων, τη χρονική στιγμή 0 t που είναι ( )ΟΑ 2= .
Ββ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις
γραμμές με εξισώσεις:
y x= - με x 0£ , y x= με x 0³ και την ( )0 y α t¢=
Βγ. Να βρείτε ευθεία παράλληλη με τον άξονα y y¢ , η οποία να χωρίζει το
χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Δίνονται οι συναρτήσεις ( )
f,g : 0,+¥ ® με
( ) ( ) 1
f x 1 x lnx
2
= - + και ( )
2
2x
x lnx
g x
e
= .
α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )
f x 0= έχει δύο μόνο ρίζες
( )
1 ρ 0,1Î και ( )
2 ρ 1,Î +¥ .
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( )
1 2 1 2 ξ ,ξ ρ ,ρÎ τέτοια ώστε
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 f ξ f ξ ln ρ ρ ¢ ¢+ = - .
δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει ένα τοπικό ελάχιστο και ένα τοπικό
μέγιστο.