330 / 368
329
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
[ ]
f : 0,1
®
για την οποία ισχύει
( )
( )
( )
2
2
2f x f 0 f 1 2
¢
³ + +
για κάθε
[ ]
x 0,1
Î
α.
Να δείξετε ότι υπάρχει
( )
κ 0,1
Î
τέτοιο ώστε
( ) ( ) ( )
f
κ f 1 f 0
¢
= -
και επί-
σης
( )
f 0 1
= -
και
( )
f 1 1
=
.
β.
Να δείξετε ότι η
f
΄ έχει ολικό ελάχιστο
.
γ.
Να δείξετε ότι
1
f
0
2
æ ö = ç ÷
è ø
δ.
Αν
( )
t 0,1
Î
να δείξετε ότι υπάρχουν
( )
1
ξ 0, t
Î
και
( )
2
ξ t,1
Î
τέτοια ώστε
( ) ( )
1
tf
ξ f t 1
¢
= +
και
(
) ( ) ( )
2
t 1 f
ξ f t 1
¢
-
= -
και να βρείτε τον τύπο της
f.
ε.
Να δείξετε ότι
( )
1
x 0
f x
e 1
dx
e
e
-
<
ò
στ.
Να λύσετε την ανίσωση
( )
f lnx 0
³
Θέμα 81
β.
Να μελετήσετε την
f
ως προς τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
f x 0
=
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
( )
0,1
.
γ.
Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης
3 2
x x 2019 x
+ = -
.
δ.
Να λύσετε την ανίσωση
( )
3
f x 2
<
καθώς και την εξίσωση
(
)
3
3
2
2
ln x ln x lnx x 1 x x
+ + = - + -
ε.
Αν
0
α β
< <
να αποδείξετε ότι
( )
( )
f
β 1 f α 1
β
α
+
+
>
στ.
Να αποδείξετε ότι
( )
2
1
f t dt 2
>
ò
και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( ) ( )
( )
2
1
f x f x
Ι
dx
f x
¢
-
=
ò