326 / 368
325
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 75
α.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι συνεχής στο
.
β.
Να αποδείξετε ότι η
f
δεν έχει ολικά ακρότατα
.
γ.
Να αποδείξετε ότι
( )
(
)
2
f x f 1 2lnx 0
- + ³
, για κάθε
x 0
>
.
δ.
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f
-
1
έχουν
ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα
(
)
1,3
-
.
Δίνονται οι συναρτήσεις
f :
®
και
g :
®
για τις οποίες ισχύουν
·
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
x
x
x
e 1 f x e x f x e x f x 1
¢
-
+ -
= -
+
για κάθε
x
Î
.
·
(
)
( )
( )
2
f 0
x
2
0
e x dx f 0
+ =
ò
.
·
( )
x
lim F x
®+¥
= +¥
όπου
F
μια παράγουσα της
f
στο
.
·
( )
2
x 1
g x e ,x
+
=
Î
και
G
μία παράγουσα
της
g.
·
( )
G 1 0
=
.
α.
Να δείξετε ότι
( )
f 0 0
=
και να βρείτε
τον
τύπο της
f.
Αν επιπλέον
( )
x
x
e 1
f x
, x
e x
-
=
Î
-
β.
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα για την
f
στα
0 1
x ,x
με
0
1
x 1 x
< <
και να βρείτε
το είδος τους.
γ.
Να βρείτε την ασύμπτωτη στο
+¥
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( ) ( )
F x
m x
x
x
= +
.
δ.
Να δείξετε ότι
( )
( ) ( ) ( )
f x x F x f x F 1
- > -
για κάθε
(
)
1
x 1,x
Î
.
ε.
Να δείξετε ότι
( )
( )
( )
0
G 2
1
1
0
G x dx
G x dx
-
<
ò
ò
.