328 / 368
327
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
χρονική στιγμή θα ξεκινήσει από το ίδιο σημείο και θα κινηθεί πάνω στην
( )
1
f x
-
.
α.
Να δείξετε ότι οι δύο φίλοι συναντιούνται και ότι
το
σημείο συνάντησης
είναι το Α(1,1).
β.
Να βρείτε
τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης του Γιώργου από τον
x
’
x
την
χρονική στιγμή της συνάντησης, αν θεωρήσουμε την
( )
1
f x
-
παραγωγίσιμη
στο πεδίο ορισμού της και
( )
m x t 10
min
¢
=
.
γ.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή
0
t
με
( ) ( )
0
x t
0,1
Î
κατά την ο-
ποία οι δύο φίλοι έχουν την ίδια ταχύτητα απομάκρυνσης από τον
x
’
x .
δ.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται μεταξύ των δύο
καμπυλών που κινούνται οι δύο φίλοι.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
με
( )
f
f D
=
για την οποία ισχύουν:
●
( )
( )
f x
α f x x
+ =
για κάθε
x 0
>
●
(
)
( )
f 3x 2
α
3f x 1
-
³ +
για κάθε
2
x
3
>
και
α 1
>
α.
Να αποδείξετε ότι
α e
=
και ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης
της
f
C
σε οποιοδήποτε σημείο
( )
(
)
x,f x
συνεχώς μειώνεται.
β.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( ) ( )(
)
f x f
π f e π x
¢
³ -
-
για κάθε
[ ]
x e,
π
Î
γ.
Να αποδείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται, να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση
της
f
και να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς
( )
0
x 1,2
Î
τέτοιο ώστε
( )
0
x f 4
=
.
δ.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
( )
(
)
( )
2x 4
e f x 2f x f x
-
¢
¢
+
=
έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα
( )
1,2
Θέμα 78