329 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
328
Θέμα 79
Θέμα 80
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
για την οποία ισχύουν
·
( )
( )
x
x
f x e
f x e 1
x
-
¢
- - =
για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
·
( )
( )
2
f 1
x
e
e dx e f 1
= -
ò
Α.
Να δείξετε ότι
( )
f 1 e
=
και να βρείτε τον τύπο της
f .
Αν
( )
x
f x xlnx e
= +
,
(
)
x 0,
Î +¥
Β.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο
( )
(
)
Α ρ,f ρ
,
2
1
ρ 0,
e
æ
ö
Î ç
÷
è
ø
που η
f
πα-
ρουσιάζει ολικό ελάχιστο με τιμή
( )
f
ρ ρlnρ lnρ 1
= - -
.
Γ.
Να δείξετε ότι
( )
f x 0
>
για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
.
Δ.
Αν
F
μια παράγουσα της
f
στο
(
)
0,
+¥
με
(
)
(
)
(
)
F 0,
0,
+¥ = +¥
Δα
.
Να δείξετε ότι η
F
αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της
1
F
-
, του
άξονα
x
΄
x
και των ευθειών
( )
x F 1
=
,
( )
x F 2
=
.
Δβ
.
Να δείξετε ότι
( ) ( ) (
)
F x F 1 x 1 e
- > -
για κάθε
x 1
>
.
Δγ
.
Να δείξετε ότι
( )
( )
4
2
F x dx 4e 2F 1
> +
ò
.
Δδ
.
Να υπολογίσετε το
( ) ( )
(
)
x
x
F x
ημF x
lim
e lnx 2017
®+¥
+
.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
με την ιδιότητα
( )
(
)
3
2
x f x 1 3x 2x
¢
- = +
για κάθε
x
Î
και
( )
f 1 2
=
α.
Να αποδείξετε ότι
( )
3 2
f x x x x 1
= + + -
.