Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
326
Θέμα 76
Θέμα 77
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
και η δύο φορές παραγω-
γίσιμη συνάρτηση
(
)
g : 0,
+¥ ®
για τις οποίες ισχύουν :
·
( )
(
)
( )
(
)
2
f x lnx xf x 1 x
¢
-
- =
για κάθε
x 0
>
·
(
)
( )
f 1 1
t
0
e 1 dt 0
-
+ =
ò
·
( )
g x 0
¢¢
>
για κάθε
x 0
>
·
( )
g 1 1
=
α.
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης
f.
Αν επιπλέον
( )
f x x lnx ,x 0
= + >
β.
Να βρείτε
το σύνολο τιμών της
f.
γ.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
( )
ρ 0,1
Î
τέτοιο ώστε
1
ρ
1
ρ
e
=
.
δ
. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
0
x
ρ,1
Î
τέτοιο, ώστε
(
) ( ) ( )
( )
2
0
0
0
0
2 x 1 f x f x
f x
¢
-
= -
.
ε.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
x 1
-
¢
¢- <
-
για κάθε
x 1
>
.
Ο Δημήτρης και ο Γιώργος δύο φίλοι, μαθηματικοί ,κατά τις καλοκαιρινές τους
διακοπές σχεδιάζουν την διαδρομή τους για το καθιερωμένο βραδινό ψάρεμα.
Αν θεωρήσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στα ανοιχτά της θά-
λασσας, ο Δημήτρης θα κινηθεί πάνω στην γραφική παράσταση της
( )
5 3
f x x x x, x 0
= - + ³
με σημείο εκκίνησης το
( )
Ο 0,0
,
ενώ ο Γιώργος την ίδια