Background Image
Previous Page  327 / 368 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 327 / 368 Next Page
Page Background

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού

326

Θέμα 76

Θέμα 77

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

(

)

f : 0,

+¥ ®

και η δύο φορές παραγω-

γίσιμη συνάρτηση

(

)

g : 0,

+¥ ®

για τις οποίες ισχύουν :

·

( )

(

)

( )

(

)

2

f x lnx xf x 1 x

¢

-

- =

για κάθε

x 0

>

·

(

)

( )

f 1 1

t

0

e 1 dt 0

-

+ =

ò

·

( )

g x 0

¢¢

>

για κάθε

x 0

>

·

( )

g 1 1

=

α.

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

f.

Αν επιπλέον

( )

f x x lnx ,x 0

= + >

β.

Να βρείτε

το σύνολο τιμών της

f.

γ.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

( )

ρ 0,1

Î

τέτοιο ώστε

1

ρ

1

ρ

e

=

.

δ

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

( )

0

x

ρ,1

Î

τέτοιο, ώστε

(

) ( ) ( )

( )

2

0

0

0

0

2 x 1 f x f x

f x

¢

-

= -

.

ε.

Να αποδείξετε ότι

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

x 1

-

¢

¢- <

-

για κάθε

x 1

>

.

Ο Δημήτρης και ο Γιώργος δύο φίλοι, μαθηματικοί ,κατά τις καλοκαιρινές τους

διακοπές σχεδιάζουν την διαδρομή τους για το καθιερωμένο βραδινό ψάρεμα.

Αν θεωρήσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στα ανοιχτά της θά-

λασσας, ο Δημήτρης θα κινηθεί πάνω στην γραφική παράσταση της

( )

5 3

f x x x x, x 0

= - + ³

με σημείο εκκίνησης το

( )

Ο 0,0

,

ενώ ο Γιώργος την ίδια