325 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
324
Θέμα 73
Θέμα 74
Δ
.
α.
Να βρείτε
την εξίσωση της εφαπτομένης της
C
f
στο σημείο
( )
(
)
Α 0,f 0
β
.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
( )
f x
f 1
αg 0
x
¢
< -
για κάθε
x 0
>
γ.
Να αποδείξετε ότι
( )
g 0 0
¢
<
.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη
f :
®
για την οποία ισχύουν:
·
( ) ( )
1
2
f x f x 0
= =
με
1
2
1 x x
< <
·
(
)
(
)
h 0
h 0
f 1 h f 1 h
lim lim
h
h
®
®
+
-
>
·
Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο
( )
(
)
Α 0,f 0
τέμνει
την ευθεία
( )
ε : y x 1
= +
πάνω στο
y
΄
y.
α.
Να δείξετε ότι
( )
f 0 1
=
.
β.
Να δείξετε ότι
( )
f 1 0
¢
>
.
γ.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
0
x 1,
Î +¥
τέτοιο ώστε
( ) ( )
(
)
( )
0
0
0
0
x f x f x f x
¢+
=
.
δ
.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
3
x 0,1
Î
τέτοιο ώστε
( ) ( )
(
)
( )
3
3
3
3
x f x f x f x
¢+
=
.
ε
.
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
(
)
0
ξ 0,x
Î
τέτοιο ώστε
( )
( )
(
)
( )
ξ f ξ f ξ
f ξ
¢
¢¢+ = -
.
Δίνεται η συνάρτηση
f :
®
για την οποία ισχύει
( ) ( )
3
x
f x f x x e
+ = +
, για κάθε
x
Î
.