331 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
330
Θέμα 82
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
για την οποία ισχύ-
ουν ότι:
●
( ) ( )
x
f x f x 2e
¢
= -
για κάθε
x
Î
●
( )
f 0 1
=
,
( )
f 0 0
¢
=
Α.
Να βρείτε τον τύπο της
f.
Αν
( ) (
)
x
f x 1 x e
= -
,
x
Î
Β.
Να λύσετε την εξίσωση
( )
(
)
(
)
(
)
3
3
f
ημ πx x 1 f ln x 2 x 1 2
+ + + + - - =
Γ.
Να αποδείξετε ότι
x
1
1 x e
1 x
+ £ £
-
για κάθε
x 1
<
Δ.
Να δείξετε ότι η εξίσωση
( )
( )
0
2
1
5 f t dt 4
1 ef
α
0
x 3
x 2
-
- -
¢ -
+
=
-
-
ò
έχει μια τουλάχι-
στον ρίζα στο
( )
2,3
με
α 1
< -
Ε.
Δίνεται επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση
g :
®
για την οποία ισχύει
ότι
●
( )
(
)
2
2
2
h 0
g x g x h
lim
3x 16x 17
h
®
- -
= - + -
για κάθε
x
Î
●
( )
x 0
g x 10
lim
17
x
®
-
= -
Εα
.
Να δείξετε ότι
( )
3
2
g x x 8x 17x 10
= - + - +
,
x
Î
Εβ
.
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης
( )
( )
( )
x
f x
h x
g x e
=
, του άξονα των τετμημέ-
νων, του άξονα των τεταγμένων και της ευθείας
x 1
=-
.