334 / 368
333
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 86
Δ.
Ένα υλικό σημείο Μ με θετική τετμημένη, κινείται στη
f
C
και η τετμημένη
του
x
αυξάνεται με ρυθμό
cm2
sec
.
Αν Ν είναι η προβολή του σημείου Μ
στον άξονα
x
΄
x
και
( )
Α 0,α
σημείο του άξονα
y
΄
y
, με
α 0
>
τότε:
Δα)
Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής
( )
Ε t
¢
του εμβαδού Ε του τριγώ-
νου ΑΜΝ κάθε χρονική στιγμή
t
ισούται με
( )
(
)
Φ x t
.
Δβ)
Να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ, τη χρονική στιγμή κατά την
οποία ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΜΝ είναι ίσος
με
2
8 cm 2ln3
sec
9
æ
ö + ç
÷
è
ø
.
Έστω
f :
®
μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη
στο
,
με
( )
f x 0
¢
¹
για κάθε
x
Î
, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
●
( )
( )
(
)
2
x
f x e f x 0
-
¢
¢ -
=
για κάθε
x
Î
●
( )
2f 0 1 0
¢
+ =
●
( )
f 0 ln2
=
για κάθε
x
Î
α
.
Να αποδείξετε ότι ισχύει
( )
x
x
e
f x 1
1 e
¢
+ =
+
,
x
Î
.
β
.
Να αποδείξετε ότι
( )
(
)
x
f x ln 1 e x
= + -
,
x
Î
.
γ
.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
δ.
Να αποδείξετε ότι ισχύει
( )
2f x x ln4
+ ³
για κάθε
x
Î
.
ε.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης
f.
στ.
Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση
1
f
-
της
f
και να υπολογίσετε τα όρια:
στ
1
)
( )
1
x 0
lim f x
+
-
®
στ
2
)
( )
1
x
lim f x
-
®+¥