332 / 368
331
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 83
Θέμα 84
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x
h x x e
= ×
,
x
Î
και οι δύο φορές παραγωγίσιμες συ-
ναρτήσεις
f :
®
,
g :
®
με
( ) ( )
f 0 f 0 0
¢
= =
.
Αν
·
F
μια παράγουσα της
f
στο
με
( )
F 0 0
=
και
G
μια παράγουσα της
g
στο
·
( )
( ) (
)
2016 2016x
F x xG x x 1 e
³ + + -
για κάθε
x
Î
·
( )
( )
( )
( )
(
)
x f x
2
E
Ω
f x e
f x
-
¢
¢
= -
όπου
( )
Ε Ω
το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από την γραφική παράσταση της
h
τον άξονα
x
΄
x
και την ευ-
θεία
x 1
=
.
α.
Να βρείτε το
( )
G 0
β.
Να δείξετε ότι
( )
(
)
x
f x ln e x
= -
για κάθε
x
Î
γ.
Να λύσετε την εξίσωση
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
F x 1 F ln x 2x 2 0
+ -
+ + =
δ.
Να δείξετε ότι
(
) (
)
(
)
F 2016 F 2018 2F 2017
+
>
ε.
Να υπολογίσετε το όριο
( )
x 0
1
F x
ημ
x
lim
xlnx
+
®
×
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
f :
®
με
( )
f 1 1
- = -
,
( )
f 2 2
=
,
( )
f 5 5
=
για την οποία ισχύουν
●
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
4
4
2
4
4
2
2
2
x 1 f t t dt
x 1 tf t dt
-
+ £ -
ò
ò
για κάθε
x
Î
●
(
) ( ) (
)
t
ημt t
x 2 f x 2 x lim
ημt t
®+¥
+
¢
-
= -
-
για κάθε
(
) (
)
x
,2 4,
Î -¥ È +¥
Α.
Να αποδείξετε ότι
( )
2
2
f x x
=
για κάθε
[ ]
x 2,4
Î
.