321 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
320
Θέμα 67
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
®
f :
για την οποία ισχύει
(
) ( ) (
)
-
= -
2 x
x 1 f x x 1 e
για κάθε
Î
x
και η συνάρτηση
®
g :
για την οποία ισχύει
( )
(
)
®+¥
æ
ö
×
+
ç
÷
=
+ + - +
-
ç
÷
+
+
è
ø
2t
t
x
2
3
t
x
3
t
2t
2
g x
1 2 2 2
lim 2e t t 1
λt xt ημ
e 1
t
16 3
για κάθε
Î
x
με λ τυχαίος πραγματικός αριθμός.
α.
Να δείξετε ότι
( ) (
)
= -
x
f x x 1 e
,
Î
x
β.
Να δείξετε ότι
=
λ 1
και
( )
(
)(
)
= + - +
x
x
g x e x 2 e 1
,
Î
x
.
γ.
Να δείξετε ότι
( )
³
f x 1
για κάθε
Î
x
και ότι η γραφική παράσταση της
g
τέμνει τον άξονα
x
’
x
σε ακριβώς ένα σημείο με τετμημένη
( )
Î
0
x 0,1
.
δ.
Να υπολογίσετε το
( )
ò
1
0
g x dx
.
ε.
Ο μικρός Λάμπρος βρίσκεται στη θέση
( )
(
)
A
κ,f κ
και πετάει κόκκινες «χρω-
μόμπαλες» κατά μήκος της εφαπτομένης της
f
C
στο Α προς τον μικρό Παύ-
λο που κινείται πάνω στον άξονα
x
΄
x.
Να βρείτε σε ποιο διάστημα του
x
΄
x
πρέπει να κινείται ο μικρός Παύλος ώ-
στε να μην τον κοκκινίσουν οι «χρωμόμπαλες».
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
®
f :
για την οποία ισχύουν
●
( )
³ +
2x
e 1 f 1 x
, για κάθε
Î
x
●
( )
®
- - -
=
-
2
x 2
8x f 1 x 28
lim
30
x 2
●
( )
( )
- = -
2
4
f x x 2f x 1
, για κάθε
Î
x
α.
Να δείξετε ότι
( ) ( )
= - =
f 1 f 1 2
.
Θέμα 66