324 / 368
323
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θέμα 72
●
( )
x
g
lim 2
x 1
x
®+¥
=
-
●
Η γραφική παράσταση της
f
έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο
+¥
●
1
2
ρ – 1, ρ – 1
ρίζες της
f
με
1
2
0
ρ 1 ρ .
< < <
Α.
Να αποδείξετε ότι
α 2
=
.
Β.
α.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
g x 0
=
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο
(
)
1 2
ρ , ρ .
β.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
(
)
1 2
ξ ρ , ρ
Î
στο οποίο η εξί-
σωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της
g
στο
( )
(
)
Α ξ,g ξ
είναι παράλληλη στην ευθεία
y 2x 2004
= +
.
Γ.
Αν το σημείο ξ του ερωτήματος
Ββ
.
είναι ρίζα της εξίσωσης
( )
g x 2x 2
= -
α.
Να δείξετε ότι το
ξ –1
είναι ρίζα της
f.
β.
Να δείξετε ότι η
f
έχει τουλάχιστον τρία κρίσιμα σημεία.
γ.
Αν επιπλέον στο
( )
(
)
ξ,g ξ
έχουμε σημείο καμπής της
g
C
,
να δείξετε ότι το
σημείο με τεμτμήμενη
ξ –1
είναι πιθανό σημείο καμπής της
f
C
και
ότι
υπάρχουν τουλάχιστον άλλα δύο πιθανά σημεία καμπής.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις
[
)
f : 0,
+¥ ®
,
[
)
g : 0,
+¥ ®
για τις
οποίες ισχύουν
●
H f
είναι κοίλη στο
[
)
0,
+¥
και
( )
f 0 0
=
●
(
) ( )
( )
(
)
x 1 f x
αg x xf x 1
+
+ = +
για κάθε
x 0
³
και
α 0
>
.
A.
Να αποδείξετε
( )
( )
f 2 2f 1 0
- <
Β
.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
( )
ξ 1,2
Î
τέτοιο ώστε
α.
(
) ( )
(
)
ξ
ξ – 2 g ξ α ξ –1
=
β.
(
) (
) ( )
ξ f ξ 1 ξ 1 f ξ .
×
+ < +
Γ
.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει
(
)
0
x 0,
Î +¥
τέτοιο ώστε
(
) (
) ( ) ( ) (
)
ο
ο
ο
ο
ο
ο
f
1 – 1 f
x x
x
x
x
f
– f
x 1 .
¢
¢
+
+
<
+