319 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
318
Θέμα 64
Θέμα 63
β.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών
της.
γ.
Να λύσετε την εξίσωση
(
)
(
)
-
-
-
= - +
+
+
x 2
x 2
1
1
e x 1
ln x 1
ln e 2
για
>
x 0
.
δ.
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
f
και η γραφική παράσταση της
( )
+
=
+ -
2
2
2xln x 1
g x
x 5x
lnx
,
x 1
>
έχουν
ακριβώς ένα κοινό σημείο με τε-
τμημένη
( )
Î
0
x 1,e
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
)
= + - -
f x 2x 2ln x 1 xlnx
με
>
x 1
.
α.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
( )
Î
ρ 2,5
στο οποίο η
f
παρουσιάζει μέγι-
στο.
β.
Να δείξετε ότι
( ) (
)
£ - -
f x 3 ln2 x 2
για κάθε
>
x 1
.
γ.
Να δείξετε ότι
( )
< -
ò
4
2
f x dx 14 6ln2
.
δ.
Να δείξετε ότι
( )
( )
>
ò
ò
2017
2019
2016
2018
f x dx
f x dx
.
ε.
Να λύσετε την εξίσωση
(
)(
)
+ - -
+ +
=
+ +
+
+
7
x
x
7
x
7
e 7 e x
e x 1
ln
e 7 1
e x e 7
στο
[
)
+¥
0,
.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
( )
(
)
(
)(
)
-
ì
- - +
- < <
ï
= í
- - + + -
³
ïî
2 x
2
x
α e 2 ln x 1 , 1 x 0
f x
α 1 x 1 x αe 2 , x 0
με
Î
α
α.
Να δείξετε ότι
=
α 1