Μαθηματικά Γ' Λυκείου

315 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
314
Θέμα 56
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ® , με ( )
f x 0> , για κάθε x Î ,
για την οποία ισχύει
( ) ( ) x
ln f x f x x eé ù + = +
ë û , για κάθε x Î .
α. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )
( )
x
1 e f x
f x
1 f x
+
¢ =
+
, για κάθε xÎ .
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο ( ) ( )
A 0,f 0 .
δ. Να αποδείξετε ότι ( ) 1
0
3
f x dx
2
> ò .
ε. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )
ξ 1,2Î , τέτοιο ώστε
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
x
2
1
1 e f x
dx 2f ξ f ξ
1 f x
+ é ù ë û
¢ =
+ ò
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
x
f x xlnx x , x 0
2
= - + >
α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )
0 x 0,Î +¥ στο οποίο η f παρου-
σιάζει ελάχιστο.
β. Να αποδείξετε ότι η f΄ αντιστρέφεται και αν g η αντίστροφή της να υπολογί-
σετε το ολοκλήρωμα ( ) e 1
1
I g x dx
+
= ò
γ. Να υπολογίσετε, αν υπάρχουν, τα όρια ( )
x 0
ημx
lim
f x +
® ¢
και
( ) 2
x
ημx
lim
f x ®+¥ ¢é ù
ë û
δ. Δίνεται επιπλέον ( ) ( )
M α,f α και (ε) η εφαπτομένη της f C στο Μ. Αν το M
απομακρύνεται από τον άξονα y΄y με ταχύτητα m2
s
να βρείτε τον ρυθμό
που μεταβάλλεται η τεταγμένη του σημείου τομής της (ε) με τον άξονα y΄y.
Θέμα 55