313 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
312
Θέμα
53
Θέμα
52
Β.
Δίνεται επιπλέον ότι
1
2
x x
<
και
g :
®
παραγωγίσιμη συνάρτηση με συ-
νεχή και γνησίως μονότονη παράγωγο για την οποία ισχύει
( )
(
)
( )
x
g f x 1 e f x
¢
+ =
για κάθε
x
Î
α.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ
Î
τέτοιο ώστε
( )
( )
f
ξ
f ξ
¢¢
¢ = -
β
.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
(
)
( )
x
2
f x e x f x
¢
= +
έχει μία τουλάχιστον ρί-
ζα.
γ
.
Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
g x g 1
³
για κάθε
x
Î
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x
x
f
e – lnx
=
,
[
)
Î +¥
x 1,
.
α.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι κυρτή στο
[
)
+¥
1,
.
β.
Να αποδείξετε ότι η
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
[
)
+¥
1,
.
γ.
Να αποδείξετε ότι
( )
>
f x 0
για κάθε
[
)
Î +¥
x 1,
.
δ.
Να αποδείξετε ότι
α
α
ln
α
lnα
x
e
e
e dx lnxdx
<
ò
ò
, όπου α πραγματικός με
>
α 1
.
ε.
Να αποδείξετε ότι
(
)
+
< -
ò
x
2
e
e
2 4
e
e ln(lnx) dx e e
.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση
[
)
f : 0,
+¥ ®
με
( )
f 0 0
=
και
f
΄ γνησίως αύξουσα στο
(
)
0,
+¥
.
Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση
( ) ( )
x
f x
h x
e
x
= +
,
(
)
x 0,
Î +¥
.
α.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
(
)
x 0,
Î +¥
ισχύει
( )
( )
f x xf x
¢ <
.
β.
Να αποδείξετε ότι η
h
είναι 1
-1 .
γ.
A
ν
( )
x
5
h x e x x
= + +
να υπολογίσετε το
(
)
1
0
Ι
f x 1 dx
= +
ò
.